Aljabar Linear Contoh
S={[2-1412],[12-152],[21-361]}S=⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2−1412⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣12−152⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦,⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−361⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎫⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Langkah 1
Untuk menentukan kolom dalam matriks tak bebas secara linear, tentukan apakah persamaan Ax=0Ax=0 memiliki penyelesaian nontrivial.
Langkah 2
Tulis sebagai matriks imbuhan untuk Ax=0Ax=0.
[2120-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2120−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3
Langkah 3.1
Kalikan setiap elemen R1R1 dengan 1212 untuk membuat entri pada 1,11,1 menjadi 11.
Langkah 3.1.1
Kalikan setiap elemen R1R1 dengan 1212 untuk membuat entri pada 1,11,1 menjadi 11.
[22122202-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣22122202−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.1.2
Sederhanakan R1R1.
[11210-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.2
Lakukan operasi baris R2=R2+R1R2=R2+R1 untuk membuat entri di 2,12,1 menjadi 00.
Langkah 3.2.1
Lakukan operasi baris R2=R2+R1R2=R2+R1 untuk membuat entri di 2,12,1 menjadi 00.
[11210-1+1⋅12+121+1⋅10+04-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−1+1⋅12+121+1⋅10+04−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.2.2
Sederhanakan R2R2.
[11210052204-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052204-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.3
Lakukan operasi baris R3=R3-4R1R3=R3−4R1 untuk membuat entri di 3,13,1 menjadi 00.
Langkah 3.3.1
Lakukan operasi baris R3=R3-4R1R3=R3−4R1 untuk membuat entri di 3,13,1 menjadi 00.
[11210052204-4⋅1-1-4(12)-3-4⋅10-4⋅015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−4⋅1−1−4(12)−3−4⋅10−4⋅015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.3.2
Sederhanakan R3R3.
[11210052200-3-7015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−7015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052200-3-7015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−7015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.4
Lakukan operasi baris R4=R4-R1R4=R4−R1 untuk membuat entri di 4,14,1 menjadi 00.
Langkah 3.4.1
Lakukan operasi baris R4=R4-R1R4=R4−R1 untuk membuat entri di 4,14,1 menjadi 00.
[11210052200-3-701-15-126-10-02210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−701−15−126−10−02210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.4.2
Sederhanakan R4R4.
[11210052200-3-70092502210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052200-3-70092502210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.5
Lakukan operasi baris R5=R5-2R1R5=R5−2R1 untuk membuat entri di 5,15,1 menjadi 00.
Langkah 3.5.1
Lakukan operasi baris R5=R5-2R1R5=R5−2R1 untuk membuat entri di 5,15,1 menjadi 00.
[11210052200-3-70092502-2⋅12-2(12)1-2⋅10-2⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502−2⋅12−2(12)1−2⋅10−2⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.5.2
Sederhanakan R5R5.
[11210052200-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052200-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.6
Kalikan setiap elemen R2R2 dengan 2525 untuk membuat entri pada 2,22,2 menjadi 11.
Langkah 3.6.1
Kalikan setiap elemen R2R2 dengan 2525 untuk membuat entri pada 2,22,2 menjadi 11.
[1121025⋅025⋅5225⋅225⋅00-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1121025⋅025⋅5225⋅225⋅00−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.6.2
Sederhanakan R2R2.
[11210014500-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210014500-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.7
Lakukan operasi baris R3=R3+3R2R3=R3+3R2 untuk membuat entri di 3,23,2 menjadi 00.
Langkah 3.7.1
Lakukan operasi baris R3=R3+3R2R3=R3+3R2 untuk membuat entri di 3,23,2 menjadi 00.
[11210014500+3⋅0-3+3⋅1-7+3(45)0+3⋅00925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500+3⋅0−3+3⋅1−7+3(45)0+3⋅00925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.7.2
Sederhanakan R3R3.
[112100145000-23500925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.8
Lakukan operasi baris R4=R4-92R2R4=R4−92R2 untuk membuat entri di 4,24,2 menjadi 00.
Langkah 3.8.1
Lakukan operasi baris R4=R4-92R2R4=R4−92R2 untuk membuat entri di 4,24,2 menjadi 00.
[112100145000-23500-92⋅092-92⋅15-92⋅450-92⋅001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500−92⋅092−92⋅15−92⋅450−92⋅001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.8.2
Sederhanakan R4R4.
[112100145000-23500075001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500075001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.9
Lakukan operasi baris R5=R5-R2R5=R5−R2 untuk membuat entri di 5,25,2 menjadi 00.
Langkah 3.9.1
Lakukan operasi baris R5=R5-R2R5=R5−R2 untuk membuat entri di 5,25,2 menjadi 00.
[112100145000-2350007500-01-1-1-450-0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−2350007500−01−1−1−450−0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.9.2
Sederhanakan R5R5.
[112100145000-23500075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.10
Kalikan setiap elemen R3R3 dengan -523−523 untuk membuat entri pada 3,33,3 menjadi 11.
Langkah 3.10.1
Kalikan setiap elemen R3R3 dengan -523−523 untuk membuat entri pada 3,33,3 menjadi 11.
[1121001450-523⋅0-523⋅0-523(-235)-523⋅00075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1121001450−523⋅0−523⋅0−523(−235)−523⋅00075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.10.2
Sederhanakan R3R3.
[112100145000100075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000100075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.11
Lakukan operasi baris R4=R4-75R3R4=R4−75R3 untuk membuat entri di 4,34,3 menjadi 00.
Langkah 3.11.1
Lakukan operasi baris R4=R4-75R3R4=R4−75R3 untuk membuat entri di 4,34,3 menjadi 00.
[112100145000100-75⋅00-75⋅075-75⋅10-75⋅000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100−75⋅00−75⋅075−75⋅10−75⋅000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Langkah 3.11.2
Sederhanakan R4.
[11210014500010000000-950]
[11210014500010000000-950]
Langkah 3.12
Lakukan operasi baris R5=R5+95R3 untuk membuat entri di 5,3 menjadi 0.
Langkah 3.12.1
Lakukan operasi baris R5=R5+95R3 untuk membuat entri di 5,3 menjadi 0.
[1121001450001000000+95⋅00+95⋅0-95+95⋅10+95⋅0]
Langkah 3.12.2
Sederhanakan R5.
[1121001450001000000000]
[1121001450001000000000]
Langkah 3.13
Lakukan operasi baris R2=R2-45R3 untuk membuat entri di 2,3 menjadi 0.
Langkah 3.13.1
Lakukan operasi baris R2=R2-45R3 untuk membuat entri di 2,3 menjadi 0.
[112100-45⋅01-45⋅045-45⋅10-45⋅0001000000000]
Langkah 3.13.2
Sederhanakan R2.
[112100100001000000000]
[112100100001000000000]
Langkah 3.14
Lakukan operasi baris R1=R1-R3 untuk membuat entri di 1,3 menjadi 0.
Langkah 3.14.1
Lakukan operasi baris R1=R1-R3 untuk membuat entri di 1,3 menjadi 0.
[1-012-01-10-00100001000000000]
Langkah 3.14.2
Sederhanakan R1.
[112000100001000000000]
[112000100001000000000]
Langkah 3.15
Lakukan operasi baris R1=R1-12R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
Langkah 3.15.1
Lakukan operasi baris R1=R1-12R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
[1-12⋅012-12⋅10-12⋅00-12⋅00100001000000000]
Langkah 3.15.2
Sederhanakan R1.
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
Langkah 4
Hilangkan baris yang berisi nol semua.
[100001000010]
Langkah 5
Tulis matriks sebagai sistem persamaan linear.
x=0
y=0
z=0
Langkah 6
Karena satu-satunya penyelesaian untuk Ax=0 adalah penyelesaian trivial, vektornya bebas secara linear.
Bebas Secara Linear
