Aljabar Linear Contoh

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.7

Kurangi $λ$ dengan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen $0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen $0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom $3$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi $-$ di grafik tanda.

Langkah 1.5.1.3

Minor untuk $a_{13}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Kalikan elemen $a_{13}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

Minor untuk $a_{23}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Kalikan elemen $a_{23}$ dengan kofaktornya.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

Minor untuk $a_{33}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Kalikan elemen $a_{33}$ dengan kofaktornya.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Tambahkan semua sukunya.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Perluas $(3 - λ) (5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.2.2

Kurangi $5 λ$ dengan $- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $5$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $35$ dengan $15$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

Langkah 1.5.4.2.3

Susun kembali $- 8 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Langkah 1.5.5.1.2

Kurangi $λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ dengan $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

Langkah 1.5.5.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3.1.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.3.1.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 20$

Langkah 1.5.5.3.3

Kalikan $- 20$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ + 20 λ$

Langkah 1.5.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.4.1

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.4.1.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) + 20 λ$

Langkah 1.5.5.4.1.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} + 20 λ$

Langkah 1.5.5.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

Langkah 1.7.1.1.2

Faktorkan $- λ$ dari $8 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) + 20 λ = 0$

Langkah 1.7.1.1.3

Faktorkan $- λ$ dari $20 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Langkah 1.7.1.1.4

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2}) - λ (- 8 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

Langkah 1.7.1.1.5

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ (- 20)$ .

$- λ (λ^{2} - 8 λ - 20) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Faktorkan $λ^{2} - 8 λ - 20$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 20$ dan jumlahnya $- 8$ .

$- 10, 2$

Langkah 1.7.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- λ ((λ - 10) (λ + 2)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ = 0$

$λ - 10 = 0$

$λ + 2 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ$ sama dengan $0$ .

$λ = 0$

Langkah 1.7.4

Atur $λ - 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ - 10$ sama dengan $0$ .

$λ - 10 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 10$

Langkah 1.7.5

Atur $λ + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Atur $λ + 2$ sama dengan $0$ .

$λ + 2 = 0$

Langkah 1.7.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 2$

Langkah 1.7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$ benar.

$λ = 0, 10, - 2$

Langkah 2

Vektor eigen sama dengan ruang nol matriks dikurangi sebanyak nilai eigen matriks satuannya di mana $N$ adalah ruang nol dan $I$ adalah matriks satuan.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.7

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.8

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Menjumlahkan sebarang matriks ke matriks nol hasilnya adalah matriks itu sendiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.4

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.5

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2.9

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3

Temukan ruang nol ketika $λ = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{3}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{3}{20}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $- \frac{3}{20}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ untuk membuat entri di $3, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 3.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 10$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $- 10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $10$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Kurangi $10$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Kurangi $10$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

Langkah 4.3

Temukan ruang nol ketika $λ = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- \frac{1}{7}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $- \frac{1}{7}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 5 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 (- \frac{5}{7}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{5}{7} & - 10 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4

Tukar $R_{3}$ dengan $R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{7}{12}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{7}{12}$ untuk membuat entri pada $2, 2$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} \cdot 0 & \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} & \frac{7}{12} \cdot - 10 & \frac{7}{12} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Lakukan operasi baris $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ untuk membuat entri di $1, 2$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{7} (- \frac{35}{6}) & 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x - \frac{25}{6} z = 0$

$y - \frac{35}{6} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 z}{6} \\ \frac{35 z}{6} \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 4.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

Temukan vektor eigen menggunakan nilai eigen $λ = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.6

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.7

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.8

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.4

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.5

Tambahkan $5$ dan $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

Langkah 5.2.3.9

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Langkah 5.3

Temukan ruang nol ketika $λ = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis sebagai matriks imbuhan untuk $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{5}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan setiap elemen $R_{1}$ dengan $\frac{1}{5}$ untuk membuat entri pada $1, 1$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Lakukan operasi baris $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ untuk membuat entri di $2, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 7 - 7 \cdot 1 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.3

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Lakukan operasi baris $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di $3, 1$ menjadi $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.4

Tukar $R_{3}$ dengan $R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $2, 3$ menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Kalikan setiap elemen $R_{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada $2, 3$ menjadi $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Langkah 5.3.4

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.5

Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.6

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 5.3.7

Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 6

Ruang eigen $A$ adalah daftar ruang vektor untuk setiap nilai eigen.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Masukkan Soal