Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

$2$ adalah matriks persegi

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$ untuk

$A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan

$12$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas

$(1 - λ) (2 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan

$- λ$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan

$2$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi

$2 λ$ dengan

$- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan

$- 12$ dengan

$3$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

Langkah 1.5.2.2

Kurangi

$36$ dengan

$2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali

$- 3 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan nilai-nilai

$a = 1$ ,

$b = - 3$ , dan

$c = - 34$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Naikkan

$- 3$ menjadi pangkat

$2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot - 34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$- 34$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.3

Tambahkan

$9$ dan

$136$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

Langkah 1.7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tuliskan

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3.3

Kurangi

$3$ dengan

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Tulis kembali

$- 1$ sebagai

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5

Faktorkan

$- 1$ dari

$- \sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.6

Faktorkan

$- 1$ dari

$- 1 (1) - (\sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.8

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.9

Tambahkan

$12$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10

Untuk menuliskan

$2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.11

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.13.1

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13.4

Kurangi

$3$ dengan

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Tuliskan

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3.3

Kalikan

$- - \sqrt{145}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.3.3.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3.3.2

Kalikan

$\sqrt{145}$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3.4

Kurangi

$3$ dengan

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tulis kembali

$- 1$ sebagai

$- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Faktorkan

$- 1$ dari

$\sqrt{145}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Faktorkan

$- 1$ dari

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Tambahkan

$12$ dan

$0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10

Untuk menuliskan

$2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.11

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.13.1

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13.4

Kalikan

$- - \sqrt{145}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.13.4.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13.4.2

Kalikan

$\sqrt{145}$ dengan

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13.5

Kurangi

$3$ dengan

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 + \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} - \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

Masukkan Soal