Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 2 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas $(6 - λ) (5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 6 \cdot 5 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$p (λ) = 30 + 6 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 30 - 6 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi $5 λ$ dengan $- 6 λ$ .

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 2 \cdot 8$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$p (λ) = 30 - 11 λ + λ^{2} - 16$

Langkah 1.5.2.2

Kurangi $16$ dengan $30$ .

$p (λ) = - 11 λ + λ^{2} + 14$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali $- 11 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 14$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 11 λ + 14 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 11$ , dan $c = 14$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Naikkan $- 11$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $14$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.3

Kurangi $56$ dengan $121$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

Langkah 1.7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}, \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 + \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4.4

Kurangi $11$ dengan $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.5

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.6

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.7

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.10.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10.3

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.10.4

Kurangi $11$ dengan $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.11

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.12

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{65}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.13

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\sqrt{65})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 3.2.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{1 - \sqrt{65}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 - \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} + \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 6 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{6 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - (11 - \sqrt{65})}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 - - \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.4

Kalikan $- - \sqrt{65}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.4.2

Kalikan $\sqrt{65}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{12 - 11 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.5

Kurangi $11$ dengan $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 + 0 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{5 \cdot 2 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.10.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - (11 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10.2

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 1 \cdot 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10.3

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 - - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10.4

Kalikan $- - \sqrt{65}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.10.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + 1 \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10.4.2

Kalikan $\sqrt{65}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{10 - 11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10.5

Kurangi $11$ dengan $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.11

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.12

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{65}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{65})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{65})}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{2}{1 + \sqrt{65}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 8 & \frac{2}{1 + \sqrt{65}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{65}}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{4} - \frac{y \sqrt{65}}{4} \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

Masukkan Soal