Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas $(1 - λ) (5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan $- λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.2

Kurangi $5 λ$ dengan $- λ$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

Langkah 5.2.2

Kurangi $6$ dengan $5$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

Langkah 5.2.3

Susun kembali $- 6 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Tambahkan $36$ dan $4$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $40$ sebagai $2^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $40$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Bentuk Desimal:

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

Masukkan Soal