Aljabar Linear Contoh

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan

2

$2$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

4

$4$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas

(3 - λ) (6 - λ)

$(3 - λ) (6 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan

3

$3$ dengan

6

$6$ .

p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

3

$3$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan

6

$6$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

λ

$λ$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan

λ^{2}

$λ^{2}$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.2

Kurangi

6 λ

$6 λ$ dengan

- 3 λ

$- 3 λ$ .

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

2

$2$ .

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Langkah 5.2.2

Kurangi

8

$8$ dengan

18

$18$ .

p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Langkah 5.2.3

Susun kembali

- 9 λ

$- 9 λ$ dan

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

Masukkan Soal