Kalkulus Contoh

\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan

x = \frac{1}{2} sin (t)

$x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , di mana

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian

d x = \frac{cos (t)}{2} d t

$d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

\frac{cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ positif.

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan

\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}}

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

sin (t)

$\sin (t)$ .

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{sin (t)}{2})}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

\frac{sin (t)}{2}

$\frac{\sin (t)}{2}$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari

4

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Faktorkan

4

$4$ dari

- 4

$- 4$ .

\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

\int \sqrt{1 - 1 {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - 1 {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.1.5

Tulis kembali

- 1 {sin}^{2} (t)

$- 1 \sin^{2} (t)$ sebagai

- {sin}^{2} (t)

$- \sin^{2} (t)$ .

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

\int \sqrt{{cos}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

\int cos (t) \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int cos (t) \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan

cos (t)

$\cos (t)$ dan

\frac{cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ .

\int \frac{cos (t) cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan

cos (t)

$\cos (t)$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{1} (t) cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan

cos (t)

$\cos (t)$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Langkah 2.2.4

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\int \frac{{cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Langkah 2.2.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 3

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

t

$t$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{2} \int {cos}^{2} (t) d t

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ sebagai

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\frac{1}{2} \int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

t

$t$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2

Kalikan

2

$2$ dengan

2

$2$ .

\frac{1}{4} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

\frac{1}{4} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\frac{1}{4} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan

u = 2 t

$u = 2 t$ . Kemudian

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ sehingga

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan

u = 2 t

$u = 2 t$ . Tentukan

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena

2

$2$ konstan terhadap

t

$t$ , turunan dari

2 t

$2 t$ terhadap

t

$t$ adalah

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ dan

d u

$d u$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan

cos (u)

$\cos (u)$ dan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari

cos (u)

$\cos (u)$ terhadap

u

$u$ adalah

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan

t

$t$ dengan

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan

t

$t$ dengan

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

sin (2 arcsin (2 x))

$\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

\frac{1}{4} arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ dan

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Langkah 15.4

Kalikan

\frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kalikan

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ dengan

\frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 15.4.2

Kalikan

4

$4$ dengan

2

$2$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

\frac{1}{4} arcsin (2 x) + \frac{1}{8} sin (2 arcsin (2 x)) + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

Masukkan Soal