Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

Langkah 1

Bagilah $x^{3} + x$ dengan $x^{3} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{3}$ .

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 + 0 - 1$

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

Langkah 1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

Langkah 4.1.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Langkah 4.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Langkah 4.1.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Langkah 4.1.3

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.6.2

Bagilah $x + 1$ dengan $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7.1.2

Bagilah $(A) (x^{2} + x + 1)$ dengan $1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.1.7.4.2

Bagilah $(B x + C) (x - 1)$ dengan $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Langkah 4.1.7.5

Perluas $(B x + C) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Langkah 4.1.7.5.2

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Langkah 4.1.7.5.3

Terapkan sifat distributif.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 4.1.7.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.6.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.6.1.1

Pindahkan $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 4.1.7.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 4.1.7.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Langkah 4.1.7.6.3

Tulis kembali $- 1 (B x)$ sebagai $- (B x)$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Langkah 4.1.7.6.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Langkah 4.1.7.6.5

Tulis kembali $- 1 C$ sebagai $- C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Langkah 4.1.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.1

Susun kembali $B$ dan $x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Langkah 4.1.8.2

Pindahkan $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Langkah 4.1.8.3

Pindahkan $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Langkah 4.1.8.4

Pindahkan $A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A - 1 B + C$

Langkah 4.2.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.2.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Selesaikan $A$ dalam $0 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $- B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A - 1 B + C$ dengan $- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan $(- B) - 1 B + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Kurangi $B$ dengan $- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Langkah 4.3.2.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = A - 1 C$ dengan $- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Langkah 4.3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Tulis kembali $- 1 C$ sebagai $- C$ .

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $C$ dalam $1 = - 2 B + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 2 B + C = 1$ .

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Langkah 4.3.3.2

Tambahkan $2 B$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Langkah 4.3.4

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $1 + 2 B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $1 = - B - C$ dengan $1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Sederhanakan $- B - (1 + 2 B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.4.2.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.4.2.1.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.4.2.1.2

Kurangi $2 B$ dengan $- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5

Selesaikan $B$ dalam $1 = - 3 B - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 B - 1 = 1$ .

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.3

Bagi setiap suku pada $- 3 B = 2$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 B = 2$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Langkah 4.3.6

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $- \frac{2}{3}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $C = 1 + 2 B$ dengan $- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1

Sederhanakan $1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1.1.1

Kalikan $2 (- \frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.1.1.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.1.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.2.3

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.2.1.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Langkah 4.3.6.3

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B$ dengan $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Langkah 4.3.6.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.1

Kalikan $- (- \frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Langkah 4.3.6.4.1.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Langkah 4.3.7

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Kalikan $\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 4.5.1.2

Gabungkan.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x \cdot 2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.5.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.5.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Langkah 4.5.5.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Langkah 4.5.5.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Langkah 4.5.5.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.5.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.5.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.5.5.1

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.5.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 4.5.7

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 7

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 7.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ sehingga $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Langkah 11.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 11.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 11.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 11.1.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Langkah 11.1.6

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$2 x + 1$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

Masukkan Soal