Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Langkah 1

Periksa apakah fungsinya kontinu di sepanjang batas penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${k | k \in ℝ}$

Langkah 1.2

$f (k)$ kontinu di $[1, \infty)$ .

$Fungsinya kontinu.$

Langkah 2

Periksa apakah fungsinya positif di sepanjang batas.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur sebuah pertidaksamaan.

$k e^{k^{2}} > 0$

Langkah 2.2

Selesaikan pertidaksamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur $k$ sama dengan $0$ .

$k = 0$

Langkah 2.2.3

Atur $e^{k^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Atur $e^{k^{2}}$ sama dengan $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Langkah 2.2.3.2

Selesaikan $e^{k^{2}} = 0$ untuk $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Langkah 2.2.3.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.2.3.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{k^{2}} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $k e^{k^{2}} > 0$ benar.

$k = 0$

Langkah 2.2.5

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$k > 0$

Langkah 3

Tentukan di mana fungsinya menurun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis $k e^{k^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Langkah 3.2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ adalah $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ di mana $f (k) = k$ dan $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ adalah $f' (g (k)) g' (k)$ di mana $f (k) = e^{k}$ dan $g (k) = k^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ adalah $n k^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.4

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.5

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.7.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Langkah 3.2.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ adalah $n k^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Langkah 3.2.1.9

Kalikan $e^{k^{2}}$ dengan $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Langkah 3.2.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.10.1

Susun kembali suku-suku.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Langkah 3.2.1.10.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Langkah 3.2.2

Turunan pertama dari $f (k)$ terhadap $k$ adalah $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Langkah 3.3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $e^{k^{2}}$ dari $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $e^{k^{2}}$ dari $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $e^{k^{2}}$ dari $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Langkah 3.3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Langkah 3.3.4

Atur $e^{k^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Atur $e^{k^{2}}$ sama dengan $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Langkah 3.3.4.2

Selesaikan $e^{k^{2}} = 0$ untuk $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Langkah 3.3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{k^{2}} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.3.5

Atur $2 k^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Atur $2 k^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Langkah 3.3.5.2

Selesaikan $2 k^{2} + 1 = 0$ untuk $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 k^{2} = - 1$

Langkah 3.3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 k^{2} = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 k^{2} = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $k^{2}$ dengan $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2}$ sebagai $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.4.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.6

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 3.3.5.2.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.4.7.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.3.5.2.4.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.5.2.4.8

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ benar.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.4

Tidak ada nilai dari $k$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 3.5

Tidak ada titik yang membuat turunan $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi. Interval untuk memeriksa apakah $f (k) = k e^{k^{2}}$ naik atau turun yaitu $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Langkah 3.6

Substitusikan sebarang bilangan, seperti $1$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ pada turunan $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ untuk mengetahui apakah hasilnya negatif atau positif. Jika hasilnya negatif, grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ . Jika hasilnya positif, grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Ganti variabel $k$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2.1.4

Sederhanakan.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 2 e + e$

Langkah 3.6.2.1.6

Sederhanakan.

$f' (1) = 2 e + e$

Langkah 3.6.2.2

Tambahkan $2 e$ dan $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Langkah 3.6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3 e$ .

$3 e$

Langkah 3.7

Hasil dari mensubstitusikan $1$ ke dalam $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ adalah $3 e$ , yang mana positif sehingga grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \infty, \infty)$ karena $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Langkah 3.8

Meningkat selama interval $(- \infty, \infty)$ berarti bahwa fungsinya selalu meningkat.

$Selalu Meningkat$

Langkah 4

Uji integral tidak berlaku karena fungsi tidak selalu menurun dari $1$ ke $\infty$ .

Masukkan Soal