Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Langkah 1

Untuk menentukan apakah deret konvergen, tentukan apakah integral barisan konvergen.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\arctan (x)$ pada $t$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Langkah 5.2

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Langkah 6.2

Limit ketika $t$ mendekati $\infty$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Langkah 6.3

Evaluasi limit dari $\arctan (1)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Langkah 6.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.4.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.4.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.4.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 6.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Langkah 6.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Langkah 6.4.5.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 7

Karena integralnya konvergen, deretnya konvergen.

Masukkan Soal