Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Langkah 1

Untuk deret tak hingga $\sum_{}^{} a_{n}$ , temukan batas $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ untuk menentukan konvergensi menggunakan Uji Akar Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 2

Substitusikan untuk $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan eksponen ke dalam nilai mutlak.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 3.3

Kalikan eksponen dalam ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 3.4

Evaluasi eksponennya.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Pindahkan batas di dalam tanda nilai mutlak.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 4.1.2

Pindahkan suku $- 2$ ke luar limit karena konstan terhadap $n$ .

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 4.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $n$ mendekati $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 4.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Langkah 4.2

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $n^{\frac{1}{n}}$ sebagai $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Langkah 4.2.2

Perluas $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{n}$ ke luar logaritma.

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Langkah 4.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{n}$ dan $\ln (n)$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Langkah 4.4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Langkah 4.4.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Langkah 4.4.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Langkah 4.4.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Langkah 4.4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Langkah 4.4.3.2

Turunan dari $\ln (n)$ terhadap $n$ adalah $\frac{1}{n}$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Langkah 4.4.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Langkah 4.4.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Langkah 4.4.5

Kalikan $\frac{1}{n}$ dengan $1$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Langkah 4.5

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{n}$ mendekati $0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Langkah 4.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Langkah 4.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Langkah 4.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Langkah 4.6.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$L = | - 2 |$

Langkah 4.6.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 2$ dan $0$ adalah $2$ .

$L = 2$

Langkah 5

Jika $L < 1$ , deret tersebut benar-benar bersifat konvergen. Jika $L > 1$ , deret tersebut bersifat divergen. Jika $L = 1$ , uji tidak dapat diselesaikan. Dalam kasus ini, $L > 1$ .

Deret bersifat divergen di $[0, \infty)$

Masukkan Soal