Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Langkah 1

Untuk deret tak hingga

$\sum_{}^{} a_{n}$ , temukan batas

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ untuk menentukan konvergensi menggunakan Uji Akar Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 2

Substitusikan untuk

$a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan eksponen ke dalam nilai mutlak.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan batas di dalam tanda nilai mutlak.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Langkah 4.2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari

$n$ dalam penyebut, yaitu

$n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari

$n$ dan

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Faktorkan

$n$ dari

$2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.2.1

Faktorkan

$n$ dari

$n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah

$5$ dengan

$1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

$n$ mendekati

$\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$n$ mendekati

$\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.5

Pindahkan suku

$2$ ke luar limit karena konstan terhadap

$n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{n^{2}}$ mendekati

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Evaluasi limit dari

$1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$n$ mendekati

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5.3

Evaluasi limit dari

$5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{n^{3}}$ mendekati

$0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Kalikan

$2$ dengan

$0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7.1.2

Tambahkan

$0$ dan

$1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7.2

Tambahkan

$5$ dan

$0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Langkah 4.7.3

$\frac{1}{5}$ mendekati

$0.2$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$L = \frac{1}{5}$

Langkah 4.8

Bagilah

$1$ dengan

$5$ .

$L = 0.2$

Langkah 5

Jika

$L < 1$ , deret tersebut benar-benar bersifat konvergen. Jika

$L > 1$ , deret tersebut bersifat divergen. Jika

$L = 1$ , uji tidak dapat diselesaikan. Dalam kasus ini,

$L < 1$ .

Deret bersifat konvergen di

$[1, \infty)$

Masukkan Soal