Kalkulus Contoh

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Langkah 1

Untuk deret tak hingga

\sum_{}^{} a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , temukan batas

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ untuk menentukan konvergensi menggunakan Uji Akar Cauchy.

L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 2

Substitusikan untuk

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan eksponen ke dalam nilai mutlak.

L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2

Kalikan eksponen dalam

{({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

n

$n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan batas di dalam tanda nilai mutlak.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Langkah 4.2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari

n

$n$ dalam penyebut, yaitu

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari

n

$n$ dan

n^{3}

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Faktorkan

n

$n$ dari

2 n

$2 n$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.2.1

Faktorkan

n

$n$ dari

n^{3}

$n^{3}$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

n^{3}

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari

n^{3}

$n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah

5

$5$ dengan

1

$1$ .

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

n

$n$ mendekati

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

n

$n$ mendekati

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.3.5

Pindahkan suku

2

$2$ ke luar limit karena konstan terhadap

n

$n$ .

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

\frac{1}{n^{2}}

$\frac{1}{n^{2}}$ mendekati

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Evaluasi limit dari

1

$1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

n

$n$ mendekati

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.5.3

Evaluasi limit dari

5

$5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

\infty

$\infty$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Langkah 4.6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

\frac{1}{n^{3}}

$\frac{1}{n^{3}}$ mendekati

0

$0$ .

L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Kalikan

2

$2$ dengan

0

$0$ .

L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7.1.2

Tambahkan

0

$0$ dan

1

$1$ .

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

L = | \frac{1}{5 + 0} |

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Langkah 4.7.2

Tambahkan

5

$5$ dan

0

$0$ .

L = | \frac{1}{5} |

$L = | \frac{1}{5} |$

Langkah 4.7.3

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ mendekati

0.2

$0.2$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

L = \frac{1}{5}

$L = \frac{1}{5}$

Langkah 4.8

Bagilah

1

$1$ dengan

5

$5$ .

L = 0.2

$L = 0.2$

L = 0.2

$L = 0.2$

Langkah 5

Jika

L < 1

$L < 1$ , deret tersebut benar-benar bersifat konvergen. Jika

L > 1

$L > 1$ , deret tersebut bersifat divergen. Jika

L = 1

$L = 1$ , uji tidak dapat diselesaikan. Dalam kasus ini,

L < 1

$L < 1$ .

Deret bersifat konvergen di

[1, \infty)

$[1, \infty)$

Masukkan Soal