Kalkulus Contoh

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(1, 7)$

Langkah 1

Tulis

$y = 3 x^{3} + x + 3$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Langkah 2

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ pada

$x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Tambahkan

$3$ dan

$1$ .

$f (1) = 4 + 3$

Langkah 2.1.2.3.2

Tambahkan

$4$ dan

$3$ .

$f (1) = 7$

Langkah 2.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah

$7$ .

$7$

Langkah 2.2

Karena

$7 = 7$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 3

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0)

$=$ Turunan dari

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Langkah 4

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 5

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi fungsi pada

$x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.3.1

Kalikan

$3$ dengan

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.2.3.2

Kalikan

$3$ dengan

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan

$x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.2.2

Pindahkan

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Langkah 5.2.3

Pindahkan

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Langkah 5.2.4

Pindahkan

$3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Langkah 5.2.5

Pindahkan

$9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Langkah 5.2.6

Susun kembali

$9 h^{2} x$ dan

$3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Langkah 5.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Langkah 6

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Langkah 7.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Langkah 7.1.3

Kurangi

$3 x^{3}$ dengan

$3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Langkah 7.1.4

Tambahkan

$3 h^{3}$ dan

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Langkah 7.1.5

Kurangi

$x$ dengan

$x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Langkah 7.1.6

Tambahkan

$3 h^{3}$ dan

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Langkah 7.1.7

Kurangi

$3$ dengan

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Langkah 7.1.8

Tambahkan

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ dan

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Langkah 7.1.9

Faktorkan

$h$ dari

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.9.1

Faktorkan

$h$ dari

$3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Langkah 7.1.9.2

Faktorkan

$h$ dari

$9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Langkah 7.1.9.3

Faktorkan

$h$ dari

$9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Langkah 7.1.9.4

Naikkan

$h$ menjadi pangkat

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Langkah 7.1.9.5

Faktorkan

$h$ dari

$h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 7.1.9.6

Faktorkan

$h$ dari

$h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 7.1.9.7

Faktorkan

$h$ dari

$h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 7.1.9.8

Faktorkan

$h$ dari

$h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Langkah 7.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah

$3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ dengan

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Pindahkan

$h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Langkah 7.2.2.2

Pindahkan

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Langkah 7.2.2.3

Susun kembali

$9 x h$ dan

$9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$h$ mendekati

$0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 9

Evaluasi limit dari

$9 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 10

Pindahkan suku

$9 x$ ke luar limit karena konstan terhadap

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 11

Pindahkan suku

$3$ ke luar limit karena konstan terhadap

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 12

Pindahkan pangkat

$2$ dari

$h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 13

Evaluasi limit dari

$1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Langkah 14

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan

$0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan

$0$ ke dalam (Variabel2).

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Langkah 14.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan

$0$ ke dalam (Variabel2).

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Langkah 15

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kalikan

$9 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.1

Kalikan

$0$ dengan

$9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Langkah 15.1.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Langkah 15.1.2

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 15.1.3

Kalikan

$3$ dengan

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Langkah 15.2

Gabungkan suku balikan dalam

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tambahkan

$9 x^{2}$ dan

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Langkah 15.2.2

Tambahkan

$9 x^{2}$ dan

$0$ .

$9 x^{2} + 1$

Langkah 16

Tentukan gradien

$m$ . Dalam hal ini

$m = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Hilangkan tanda kurung.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Langkah 16.2

Sederhanakan

$9 \cdot 1^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Langkah 16.2.1.2

Kalikan

$9$ dengan

$1$ .

$m = 9 + 1$

Langkah 16.2.2

Tambahkan

$9$ dan

$1$ .

$m = 10$

Langkah 17

Gradiennya adalah

$m = 10$ dan titiknya adalah

$(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Langkah 18

Temukan nilai dari

$b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari

$b$ .

$y = m x + b$

Langkah 18.2

Substitusikan nilai

$m$ ke dalam persamaannya.

$y = (10) \cdot x + b$

Langkah 18.3

Substitusikan nilai

$x$ ke dalam persamaannya.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Langkah 18.4

Substitusikan nilai

$y$ ke dalam persamaannya.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Langkah 18.5

Temukan nilai dari

$b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Langkah 18.5.2

Kalikan

$10$ dengan

$1$ .

$10 + b = 7$

Langkah 18.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.3.1

Kurangkan

$10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b = 7 - 10$

Langkah 18.5.3.2

Kurangi

$10$ dengan

$7$ .

$b = - 3$

Langkah 19

Sekarang setelah nilai-nilai dari

$m$ (gradien) dan

$b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam

$y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = 10 x - 3$

Langkah 20

Masukkan Soal