Kalkulus Contoh

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 10)

$(1, 10)$

Langkah 1

Tulis

7 x^{2} + 3 x

$7 x^{2} + 3 x$ sebagai fungsi.

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Langkah 2

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ pada

x = 1

$x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel

x

$x$ dengan

1

$1$ pada pernyataan tersebut.

f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan

7

$7$ dengan

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3 (1)

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan

3

$3$ dengan

1

$1$ .

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

f (1) = 7 + 3

$f (1) = 7 + 3$

Langkah 2.1.2.2

Tambahkan

7

$7$ dan

3

$3$ .

f (1) = 10

$f (1) = 10$

Langkah 2.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah

10

$10$ .

10

$10$

10

$10$

10

$10$

Langkah 2.2

Karena

10 = 10

$10 = 10$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 3

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0)

=

$=$ Turunan dari

f (x) = 7 x^{2} + 3 x

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Langkah 4

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 5

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi fungsi pada

x = x + h

$x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ganti variabel

x

$x$ dengan

x + h

$x + h$ pada pernyataan tersebut.

f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Tulis kembali

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ sebagai

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2

Perluas

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.1.1

Kalikan

x

$x$ dengan

x

$x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.1.2

Kalikan

h

$h$ dengan

h

$h$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.2

Tambahkan

x h

$x h$ dan

h x

$h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.2.1

Susun kembali

x

$x$ dan

h

$h$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.2.2

Tambahkan

h x

$h x$ dan

h x

$h x$ .

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.5

Kalikan

2

$2$ dengan

7

$7$ .

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Langkah 5.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Langkah 5.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan

$3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.2.2

Pindahkan

$7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.2.3

Susun kembali

$14 h x$ dan

$7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Langkah 6

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Langkah 7.1.2

Kalikan

$7$ dengan

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Langkah 7.1.3

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.4

Kurangi

$7 x^{2}$ dengan

$7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.5

Tambahkan

$7 h^{2}$ dan

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.6

Kurangi

$3 x$ dengan

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Langkah 7.1.7

Tambahkan

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ dan

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8

Faktorkan

$h$ dari

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Faktorkan

$h$ dari

$7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.2

Faktorkan

$h$ dari

$14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.3

Faktorkan

$h$ dari

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Langkah 7.1.8.4

Faktorkan

$h$ dari

$h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Langkah 7.1.8.5

Faktorkan

$h$ dari

$h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Langkah 7.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah

$7 h + 14 x + 3$ dengan

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Langkah 7.2.2

Susun kembali

$7 h$ dan

$14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$h$ mendekati

$0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.2

Evaluasi limit dari

$14 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.3

Pindahkan suku

$7$ ke luar limit karena konstan terhadap

$h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.4

Evaluasi limit dari

$3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Langkah 9

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan

$0$ ke dalam (Variabel2).

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan

$7$ dengan

$0$ .

$14 x + 0 + 3$

Langkah 10.2

Tambahkan

$14 x$ dan

$0$ .

$14 x + 3$

Langkah 11

Sederhanakan

$14 (1) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan

$14$ dengan

$1$ .

$m = 14 + 3$

Langkah 11.2

Tambahkan

$14$ dan

$3$ .

$m = 17$

Langkah 12

Gradiennya adalah

$m = 17$ dan titiknya adalah

$(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Langkah 13

Temukan nilai dari

$b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari

$b$ .

$y = m x + b$

Langkah 13.2

Substitusikan nilai

$m$ ke dalam persamaannya.

$y = (17) \cdot x + b$

Langkah 13.3

Substitusikan nilai

$x$ ke dalam persamaannya.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Langkah 13.4

Substitusikan nilai

$y$ ke dalam persamaannya.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Langkah 13.5

Temukan nilai dari

$b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Langkah 13.5.2

Kalikan

$17$ dengan

$1$ .

$17 + b = 10$

Langkah 13.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.3.1

Kurangkan

$17$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b = 10 - 17$

Langkah 13.5.3.2

Kurangi

$17$ dengan

$10$ .

$b = - 7$

Langkah 14

Sekarang setelah nilai-nilai dari

$m$ (gradien) dan

$b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam

$y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = 17 x - 7$

Langkah 15

Masukkan Soal