Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Langkah 2.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 6.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Langkah 6.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ dan $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{2} e^{x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Masukkan Soal