Kalkulus Contoh

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Asumsikan

\sqrt{y^{2}} = y

$\sqrt{y^{2}} = y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Langkah 1.2

Gabungkan

\sqrt{y^{2}}

$\sqrt{y^{2}}$ dan

\sqrt{x y}

$\sqrt{x y}$ ke dalam akar tunggal.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Langkah 1.3

Kurangi pernyataan

\frac{y^{2}}{x y}

$\frac{y^{2}}{x y}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan

y

$y$ dari

y^{2}

$y^{2}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan

y

$y$ dari

x y

$x y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Langkah 1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Langkah 2

Biarkan

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan

V

$V$ ke

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Langkah 3

Selesaikan

V = \frac{y}{x}

$V = \frac{y}{x}$ untuk

y

$y$ .

y = V x

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari

y = V x

$y = V x$ terhadap

x

$x$ .

\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan

x \frac{d V}{d x} + V

$x \frac{d V}{d x} + V$ untuk

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan

V

$V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam

V + \sqrt{V} - V

$V + \sqrt{V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi

V

$V$ dengan

V

$V$ .

x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan

0

$0$ dan

\sqrt{V}

$\sqrt{V}$ .

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ dengan

x

$x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di

x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ dengan

x

$x$ .

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah

\frac{d V}{d x}

$\frac{d V}{d x}$ dengan

1

$1$ .

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan

\frac{1}{\sqrt{V}}

$\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari

\sqrt{V}

$\sqrt{V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{V}

$\sqrt{V}$ sebagai

V^{\frac{1}{2}}

$V^{\frac{1}{2}}$ .

\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Pindahkan

V^{\frac{1}{2}}

$V^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat

- 1

$- 1$ .

\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam

{(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

- 1

$- 1$ .

\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

V^{- \frac{1}{2}}

$V^{- \frac{1}{2}}$ terhadap

V

$V$ adalah

2 V^{\frac{1}{2}}

$2 V^{\frac{1}{2}}$ .

2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ terhadap

x

$x$ adalah

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = ln (| x |) + C_{2}

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai

C

$C$ .

2 V^{\frac{1}{2}} = ln (| x |) + C

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

2 V^{\frac{1}{2}} = ln (| x |) + C

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan

V

$V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada

2 V^{\frac{1}{2}} = ln (| x |) + C

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ dengan

2

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di

2 V^{\frac{1}{2}} = ln (| x |) + C

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ dengan

2

$2$ .

\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.2.2

Bagilah

V^{\frac{1}{2}}

$V^{\frac{1}{2}}$ dengan

1

$1$ .

V^{\frac{1}{2}} = \frac{ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

V^{\frac{1}{2}} = \frac{ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Tulis kembali

\frac{ln (| x |)}{2}

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ sebagai

\frac{1}{2} ln (| x |)

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (| x |) + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Sederhanakan

\frac{1}{2} ln (| x |)

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ dengan memindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

V^{\frac{1}{2}} = ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

V^{\frac{1}{2}} = ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

V^{\frac{1}{2}} = ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

V^{\frac{1}{2}} = ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat

2

$2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

{(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan

{(V^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan eksponen dalam

{(V^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

V^{1} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

V^{1} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

V^{1} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.2

Sederhanakan.

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

V = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Langkah 7

Substitusikan

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ untuk

V

$V$ .

\frac{y}{x} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Langkah 8

Selesaikan

\frac{y}{x} = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ untuk

y

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan

x

$x$ .

\frac{y}{x} x = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{y}{x} x = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

y = {(ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Masukkan Soal