Kalkulus Contoh

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (y) + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $\cos (y)$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Langkah 2.2

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\cos (y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\cos (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (y) = \cos (y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x \cos (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Langkah 5.2

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $\sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3.3

Kalikan $\sin (y)$ dengan $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $\sin (y)$ dengan $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Masukkan Soal