Kalkulus Contoh

(sin (y) + x) d x + (x cos (y)) d y = 0

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana

M (x, y) = sin (y) + x

$M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan

M

$M$ terhadap

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y) + x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

sin (y) + x

$\sin (y) + x$ terhadap

y

$y$ adalah

\frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3

Turunan dari

sin (y)

$\sin (y)$ terhadap

y

$y$ adalah

cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena

x

$x$ konstan terhadap

y

$y$ , turunan dari

x

$x$ terhadap

y

$y$ adalah

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + 0

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan

cos (y)

$\cos (y)$ dan

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Langkah 2

Temukan

$\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana

$N (x, y) = x \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan

$N$ terhadap

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Langkah 2.2

Karena

$\cos (y)$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$x \cos (y)$ terhadap

$x$ adalah

$\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan

$\cos (y)$ dengan

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

$\cos (y)$ ke

$\frac{\partial M}{\partial y}$ dan

$\cos (y)$ ke

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (y) = \cos (y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur

$f (x, y)$ agar sama dengan integral

$N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Langkah 5

Integralkan

$N (x, y) = x \cos (y)$ untuk menemukan

$f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena

$x$ konstan terhadap

$y$ , pindahkan

$x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Langkah 5.2

Integral dari

$\cos (y)$ terhadap

$y$ adalah

$\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Langkah 6

Karena integral

$g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti

$C$ dengan

$g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Langkah 7

Atur

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Langkah 8

Temukan

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan

$f$ terhadap

$x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$x \sin (y) + g (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena

$\sin (y)$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$x \sin (y)$ terhadap

$x$ adalah

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.3.3

Kalikan

$\sin (y)$ dengan

$1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan

$g (x)$ adalah

$\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Langkah 9

Selesaikan

$\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan

$\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam

$\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi

$\sin (y)$ dengan

$\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan

$x$ dan

$0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan

$x$ untuk menemukan

$g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi

$\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan

$g (x)$ dalam

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Masukkan Soal