Kalkulus Contoh

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Langkah 1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = k x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $k$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $k x$ terhadap $x$ adalah $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$\cos (k x) k$

Langkah 1.3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = k \cos (k x)$

Langkah 2

Temukan $y''$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunannya.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Langkah 2.2

Karena $k$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $k \cos (k x)$ terhadap $x$ adalah $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = k x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Langkah 2.4

Karena $k$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $k x$ terhadap $x$ adalah $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.5

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.6

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Langkah 2.11

Susun kembali faktor-faktor dari $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Langkah 3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Langkah 4

Substitusikan $y$ untuk $\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 k^{2} y = - y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- 3 k^{2} y = - y$ dengan $- 3 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 k^{2} y = - y$ dengan $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $k^{2}$ dengan $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.3.3.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 5.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 5.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 5.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bentuk Desimal:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Masukkan Soal