Kalkulus Contoh

4 y'' = y

$4 y'' = y$ ,

y = e^{r x}

$y = e^{r x}$

Langkah 1

Temukan

y'

$y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Langkah 1.2

Turunan dari

y

$y$ terhadap

x

$x$ adalah

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ dan

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

u

$u$ sebagai

r x

$r x$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ di mana

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

r x

$r x$ .

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena

r

$r$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

r x

$r x$ terhadap

x

$x$ adalah

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

e^{r x} (r \cdot 1)

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kalikan

r

$r$ dengan

1

$1$ .

e^{r x} r

$e^{r x} r$

Langkah 1.3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam

e^{r x} r

$e^{r x} r$ .

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

Langkah 2

Temukan

y''

$y''$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunannya.

y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Langkah 2.2

Karena

r

$r$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

r e^{r x}

$r e^{r x}$ terhadap

x

$x$ adalah

r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ dan

g (x) = r x

$g (x) = r x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

u

$u$ sebagai

r x

$r x$ .

y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ di mana

a

$a$ =

e

$e$ .

y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

r x

$r x$ .

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.4

Karena

r

$r$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

r x

$r x$ terhadap

x

$x$ adalah

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.5

Naikkan

r

$r$ menjadi pangkat

1

$1$ .

y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.6

Naikkan

r

$r$ menjadi pangkat

1

$1$ .

y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.8

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan

e^{r x}

$e^{r x}$ dengan

1

$1$ .

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Langkah 3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

4 (r^{2} e^{r x}) = y

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Langkah 4

Substitusikan

y

$y$ untuk

e^{r x}

$e^{r x}$ .

4 (r^{2} y) = y

$4 (r^{2} y) = y$

Langkah 5

Selesaikan

r

$r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ dengan

4 y

$4 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ dengan

4 y

$4 y$ .

\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

4

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah

$r^{2}$ dengan

$1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.2

Sebarang akar dari

$1$ adalah

$1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Langkah 5.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Masukkan Soal