Kalkulus Contoh

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Langkah 1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = r x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $r$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $r x$ terhadap $x$ adalah $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kalikan $r$ dengan $1$ .

$e^{r x} r$

Langkah 1.3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = r e^{r x}$

Langkah 2

Temukan $y''$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunannya.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Langkah 2.2

Karena $r$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $r e^{r x}$ terhadap $x$ adalah $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = r x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Langkah 2.4

Karena $r$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $r x$ terhadap $x$ adalah $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.5

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.6

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan $e^{r x}$ dengan $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Langkah 3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Langkah 4

Substitusikan $y$ untuk $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Langkah 5

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $4 r^{2} y = y$ dengan $4 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $4 r^{2} y = y$ dengan $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.2.2.2

Bagilah $r^{2}$ dengan $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Langkah 5.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Langkah 5.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Masukkan Soal