Kalkulus Contoh

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

Langkah 1

Biarkan

y = f (x)

$y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ dengan memindahkan

ln (x)

$\ln (x)$ ke luar logaritma.

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Langkah 2.2

Naikkan

ln (x)

$\ln (x)$ menjadi pangkat

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Langkah 2.3

Naikkan

ln (x)

$\ln (x)$ menjadi pangkat

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Langkah 2.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap

y

$y$ adalah fungsi dari

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri

ln (y)

$\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

\frac{y'}{y} = {ln}^{2} (x)

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan

{ln}^{2} (x)

$\ln^{2} (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [{ln}^{2} (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ dan

g (x) = ln (x)

$g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

u

$u$ sebagai

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{d}{d x} [ln (x)]

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.3

Turunan dari

ln (x)

$\ln (x)$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{y'}{y} = 2 ln (x) \frac{1}{x}

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Gabungkan

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ dan

2

$2$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} ln (x)

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Langkah 3.2.4.2

Gabungkan

\frac{2}{x}

$\frac{2}{x}$ dan

ln (x)

$\ln (x)$ .

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{2 ln (x)}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan

2 ln (x)

$2 \ln (x)$ dengan memindahkan

2

$2$ ke dalam logaritma.

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

\frac{y'}{y} = \frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Langkah 4

Isolasikan

y'

$y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk

y

$y$ di sisi kanan.

y' = \frac{ln (x^{2})}{x} x^{ln (x)}

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan

\frac{ln (x^{2})}{x}

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ dan

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ .

y' = \frac{ln (x^{2}) x^{ln (x)}}{x}

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari

x^{ln (x)}

$x^{\ln (x)}$ dan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan

x

$x$ dari

ln (x^{2}) x^{ln (x)}

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x^{1}}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan

x

$x$ dari

x^{1}

$x^{1}$ .

y' = \frac{x (ln (x^{2}) x^{ln (x) - 1})}{x \cdot 1}

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Langkah 5.2.2.5

Bagilah

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ dengan

$1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Masukkan Soal