Kalkulus Contoh

$y = x^{\ln (x)}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas $\ln (x^{\ln (x)})$ dengan memindahkan $\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Langkah 2.2

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Langkah 2.3

Naikkan $\ln (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Langkah 3.2.4.2

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan $2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ dan $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{\ln (x)}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x$ dari $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Langkah 5.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Langkah 5.2.2.5

Bagilah $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ dengan $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Masukkan Soal