Kalkulus Contoh

$y = x^{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Biarkan

$y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Langkah 2

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{x}$ sebagai

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 2.2

Perluas

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ dengan memindahkan

$x^{\frac{1}{2}}$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap

$y$ adalah fungsi dari

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri

$\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.3

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Gabungkan

$x^{\frac{1}{2}}$ dan

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.4.2

Pindahkan

$x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5

Kalikan

$x$ dengan

$x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan

$x$ dengan

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1.1

Naikkan

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5.2

Tuliskan

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5.4

Kurangi

$1$ dengan

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 3.2.7

Untuk menuliskan

$- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 3.2.8

Gabungkan

$- 1$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 3.2.10.2

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 3.2.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 3.2.12

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.2.13

Gabungkan

$\ln (x)$ dan

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.2.14

Pindahkan

$x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Isolasikan

$y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk

$y$ di sisi kanan.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Langkah 5.2

Gabungkan

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dan

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Langkah 5.3

Gabungkan

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan

$x^{\frac{1}{2}}$ dari

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Kalikan dengan

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.2.4

Bagilah

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ dengan

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan

$x^{\frac{1}{2}}$ dari

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Faktorkan

$x^{\frac{1}{2}}$ dari

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Langkah 5.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Langkah 5.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 5.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Untuk menuliskan

$\sqrt{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 5.4.5.2

Gabungkan

$\sqrt{x}$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 5.4.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.4.5.4

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.5

Untuk menuliskan

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.6

Gabungkan

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{x}$ sebagai

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.2

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{x}$ sebagai

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.3

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1

Untuk menuliskan

$x^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.4.2

Gabungkan

$x^{\frac{1}{2}}$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.4.4

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Langkah 5.8.5

Faktorkan

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ dari

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.5.1

Susun kembali

$\ln (x)$ dan

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Langkah 5.8.5.2

Faktorkan

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ dari

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Langkah 5.8.5.3

Faktorkan

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ dari

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Langkah 5.8.5.4

Faktorkan

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ dari

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Masukkan Soal