Kalkulus Contoh

y = 6 x - 4 cos (3 x)

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 cos (3 x))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Langkah 2

Turunan dari

y

$y$ terhadap

x

$x$ adalah

$y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$6 x - 4 \cos (3 x)$ terhadap (Variabel1) adalah

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Langkah 3.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena

$6$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$6 x$ terhadap

$x$ adalah

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Langkah 3.2.3

Kalikan

$6$ dengan

$1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Langkah 3.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena

$- 4$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 4 \cos (3 x)$ terhadap

$x$ adalah

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \cos (x)$ dan

$g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari

$\cos (u)$ terhadap

$u$ adalah

$- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 3.3.3

Karena

$3$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$3 x$ terhadap

$x$ adalah

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Langkah 3.3.5

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Langkah 3.3.6

Kalikan

$3$ dengan

$- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Langkah 3.3.7

Kalikan

$- 3$ dengan

$- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Langkah 5

Ganti

$y'$ dengan

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Langkah 6

Tetapkan

$\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan

$x$ dalam bentuk

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangkan

$6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada

$12 \sin (3 x) = - 6$ dengan

$12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di

$12 \sin (3 x) = - 6$ dengan

$12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah

$\sin (3 x)$ dengan

$1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari

$- 6$ dan

$12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Faktorkan

$6$ dari

$- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Langkah 6.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Faktorkan

$6$ dari

$12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 6.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 6.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam sinus.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Nilai eksak dari

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah

$- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Langkah 6.5

Bagi setiap suku pada

$3 x = - \frac{π}{6}$ dengan

$3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Bagilah setiap suku di

$3 x = - \frac{π}{6}$ dengan

$3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Langkah 6.5.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Langkah 6.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 6.5.3.2

Kalikan

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.2.1

Kalikan

$\frac{1}{3}$ dengan

$\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Langkah 6.5.3.2.2

Kalikan

$3$ dengan

$6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Langkah 6.6

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari

$2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke

$π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 6.7

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kurangi

$2 π$ dengan

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 6.7.2

Sudut yang dihasilkan dari

$\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari

$2 π$ , dan koterminal dengan

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 6.7.3

Bagi setiap suku pada

$3 x = \frac{7 π}{6}$ dengan

$3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.1

Bagilah setiap suku di

$3 x = \frac{7 π}{6}$ dengan

$3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Langkah 6.7.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Langkah 6.7.3.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Langkah 6.7.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 6.7.3.3.2

Kalikan

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.3.2.1

Kalikan

$\frac{7 π}{6}$ dengan

$\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Langkah 6.7.3.3.2.2

Kalikan

$6$ dengan

$3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Langkah 6.8

Tentukan periode dari

$\sin (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.8.2

Ganti

$b$ dengan

$3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Langkah 6.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$3$ adalah

$3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 6.9

Tambahkan

$\frac{2 π}{3}$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Tambahkan

$\frac{2 π}{3}$ ke

$- \frac{π}{18}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.9.2

Untuk menuliskan

$\frac{2 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Langkah 6.9.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari

$18$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari

$1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.3.1

Kalikan

$\frac{2 π}{3}$ dengan

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Langkah 6.9.3.2

Kalikan

$3$ dengan

$6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Langkah 6.9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Langkah 6.9.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.5.1

Kalikan

$6$ dengan

$2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Langkah 6.9.5.2

Kurangi

$π$ dengan

$12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Langkah 6.9.6

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{18}$

Langkah 6.10

Periode dari fungsi

$\sin (3 x)$ adalah

$\frac{2 π}{3}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$\frac{2 π}{3}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 7

Sederhanakan

$6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan

$6$ dari

$18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Faktorkan

$3$ dari

$6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.4

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 7.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 7.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.6.1

Faktorkan

$3$ dari

$18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 7.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 7.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 7.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 7.1.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Langkah 7.2

Sederhanakan dengan saling menukar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Susun kembali

$\frac{7 π}{6}$ dan

$2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Langkah 7.2.2

Susun kembali

$\frac{7 π}{3}$ dan

$4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Langkah 8

Sederhanakan

$6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Faktorkan

$6$ dari

$18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Faktorkan

$3$ dari

$6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.4

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Langkah 8.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 8.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.6.1

Faktorkan

$3$ dari

$18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 8.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 8.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 8.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Langkah 8.1.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Langkah 8.2

Sederhanakan dengan saling menukar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Susun kembali

$\frac{11 π}{6}$ dan

$2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Langkah 8.2.2

Susun kembali

$\frac{11 π}{3}$ dan

$4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Langkah 9

Tentukan titik di mana

$\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 10

Masukkan Soal