Kalkulus Contoh

\frac{x + 3}{x^{2} - 1}

$\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

f (x) = x + 3

$f (x) = x + 3$ dan

g (x) = x^{2} - 1

$g (x) = x^{2} - 1$ .

\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x + 3

$x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena

3

$3$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

3

$3$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 1

$- 1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Tambahkan

2 x

$2 x$ dan

0

$0$ .

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan

x^{2}

$x^{2}$ dengan

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan

x

$x$ dengan

x

$x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.4.1

Pindahkan

x

$x$ .

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4.2

Kalikan

x

$x$ dengan

x

$x$ .

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

2

$2$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

3

$3$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7

Kalikan

2

$2$ dengan

- 3

$- 3$ .

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kurangi

2 x^{2}

$2 x^{2}$ dengan

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali

1

$1$ sebagai

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

a = x

$a = x$ dan

b = 1

$b = 1$ .

\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke

(x + 1) (x - 1)

$(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Faktorkan

$- 1$ dari

$- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan

$- 1$ dari

$- 6 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.9

Faktorkan

$- 1$ dari

$- (x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.10

Tulis kembali

$- 1$ sebagai

$- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.11

Faktorkan

$- 1$ dari

$- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.12

Tulis kembali

$- (x^{2} + 6 x + 1)$ sebagai

$- 1 (x^{2} + 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Masukkan Soal