Kalkulus Contoh

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari

f (x)

$f (x)$ dan

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ .

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana

f (x) = x

$f (x) = x$ dan

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.2

Kalikan

2

$2$ dengan

2

$2$ .

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

x^{2}

$x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 5

Gabungkan

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ dan

x^{3}

$x^{3}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 6

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , pindahkan

- 1

$- 1$ keluar dari integral.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

x^{4}

$x^{4}$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ dan

x^{5}

$x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ pada

1

$1$ dan pada

0

$0$ .

V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8.2.2

Evaluasi

\frac{x^{5}}{5}

$\frac{x^{5}}{5}$ pada

1

$1$ dan pada

0

$0$ .

V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.2

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari

0

$0$ dan

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.3.1

Faktorkan

3

$3$ dari

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.3.2.1

Faktorkan

3

$3$ dari

3

$3$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.4

Bagilah

0

$0$ dengan

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.5

Tambahkan

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ dan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.7

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Langkah 8.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari

0

$0$ dan

5

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.8.1

Faktorkan

5

$5$ dari

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Langkah 8.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.8.2.1

Faktorkan

5

$5$ dari

5

$5$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.4

Bagilah

0

$0$ dengan

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Langkah 8.2.3.9

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Langkah 8.2.3.10

Tambahkan

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ dan

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Langkah 8.2.3.11

Untuk menuliskan

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Langkah 8.2.3.12

Untuk menuliskan

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari

15

$15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari

1

$1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.13.1

Kalikan

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ dengan

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13.2

Kalikan

3

$3$ dengan

5

$5$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13.3

Kalikan

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ dengan

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Langkah 8.2.3.13.4

Kalikan

5

$5$ dengan

3

$3$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Langkah 8.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

V = π (\frac{5 - 3}{15})

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Langkah 8.2.3.15

Kurangi

3

$3$ dengan

5

$5$ .

V = π (\frac{2}{15})

$V = π (\frac{2}{15})$

Langkah 8.2.3.16

Gabungkan

π

$π$ dan

\frac{2}{15}

$\frac{2}{15}$ .

V = \frac{π \cdot 2}{15}

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Langkah 8.2.3.17

Pindahkan

2

$2$ ke sebelah kiri

π

$π$ .

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Bentuk Desimal:

V = 0.41887902 \dots

$V = 0.41887902 \dots$

Langkah 10

Masukkan Soal