Kalkulus Contoh
y=x2-2xy=x2−2x , y=xy=x
Langkah 1
Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari f(x)f(x) dan A=πr2A=πr2.
V=π∫30(f(x))2-(g(x))2dxV=π∫30(f(x))2−(g(x))2dx di mana f(x)=xf(x)=x dan g(x)=x2-2xg(x)=x2−2x
Langkah 2
Langkah 2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 2.1.1
Tulis kembali (x2-2x)2(x2−2x)2 sebagai (x2-2x)(x2-2x)(x2−2x)(x2−2x).
V=x2-((x2-2x)(x2-2x))V=x2−((x2−2x)(x2−2x))
Langkah 2.1.2
Perluas (x2-2x)(x2-2x)(x2−2x)(x2−2x) menggunakan Metode FOIL.
Langkah 2.1.2.1
Terapkan sifat distributif.
V=x2-(x2(x2-2x)-2x(x2-2x))V=x2−(x2(x2−2x)−2x(x2−2x))
Langkah 2.1.2.2
Terapkan sifat distributif.
V=x2-(x2x2+x2(-2x)-2x(x2-2x))V=x2−(x2x2+x2(−2x)−2x(x2−2x))
Langkah 2.1.2.3
Terapkan sifat distributif.
V=x2-(x2x2+x2(-2x)-2x⋅x2-2x(-2x))
V=x2-(x2x2+x2(-2x)-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Langkah 2.1.3.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 2.1.3.1.1
Kalikan x2 dengan x2 dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 2.1.3.1.1.1
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
V=x2-(x2+2+x2(-2x)-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.1.2
Tambahkan 2 dan 2.
V=x2-(x4+x2(-2x)-2x⋅x2-2x(-2x))
V=x2-(x4+x2(-2x)-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.2
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
V=x2-(x4-2x2x-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.3
Kalikan x2 dengan x dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 2.1.3.1.3.1
Pindahkan x.
V=x2-(x4-2(x⋅x2)-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.3.2
Kalikan x dengan x2.
Langkah 2.1.3.1.3.2.1
Naikkan x menjadi pangkat 1.
V=x2-(x4-2(x⋅x2)-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.3.2.2
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
V=x2-(x4-2x1+2-2x⋅x2-2x(-2x))
V=x2-(x4-2x1+2-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.3.3
Tambahkan 1 dan 2.
V=x2-(x4-2x3-2x⋅x2-2x(-2x))
V=x2-(x4-2x3-2x⋅x2-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.4
Kalikan x dengan x2 dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 2.1.3.1.4.1
Pindahkan x2.
V=x2-(x4-2x3-2(x2x)-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.4.2
Kalikan x2 dengan x.
Langkah 2.1.3.1.4.2.1
Naikkan x menjadi pangkat 1.
V=x2-(x4-2x3-2(x2x)-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.4.2.2
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
V=x2-(x4-2x3-2x2+1-2x(-2x))
V=x2-(x4-2x3-2x2+1-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.4.3
Tambahkan 2 dan 1.
V=x2-(x4-2x3-2x3-2x(-2x))
V=x2-(x4-2x3-2x3-2x(-2x))
Langkah 2.1.3.1.5
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
V=x2-(x4-2x3-2x3-2⋅(-2x⋅x))
Langkah 2.1.3.1.6
Kalikan x dengan x dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 2.1.3.1.6.1
Pindahkan x.
V=x2-(x4-2x3-2x3-2⋅(-2(x⋅x)))
Langkah 2.1.3.1.6.2
Kalikan x dengan x.
V=x2-(x4-2x3-2x3-2⋅(-2x2))
V=x2-(x4-2x3-2x3-2⋅(-2x2))
Langkah 2.1.3.1.7
Kalikan -2 dengan -2.
V=x2-(x4-2x3-2x3+4x2)
V=x2-(x4-2x3-2x3+4x2)
Langkah 2.1.3.2
Kurangi 2x3 dengan -2x3.
V=x2-(x4-4x3+4x2)
V=x2-(x4-4x3+4x2)
Langkah 2.1.4
Terapkan sifat distributif.
V=x2-x4-(-4x3)-(4x2)
Langkah 2.1.5
Sederhanakan.
Langkah 2.1.5.1
Kalikan -4 dengan -1.
V=x2-x4+4x3-(4x2)
Langkah 2.1.5.2
Kalikan 4 dengan -1.
V=x2-x4+4x3-4x2
V=x2-x4+4x3-4x2
V=x2-x4+4x3-4x2
Langkah 2.2
Kurangi 4x2 dengan x2.
V=-x4+4x3-3x2
V=-x4+4x3-3x2
Langkah 3
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
V=π(∫30-x4dx+∫304x3dx+∫30-3x2dx)
Langkah 4
Karena -1 konstan terhadap x, pindahkan -1 keluar dari integral.
V=π(-∫30x4dx+∫304x3dx+∫30-3x2dx)
Langkah 5
Menurut Kaidah Pangkat, integral dari x4 terhadap x adalah 15x5.
V=π(-(15x5]30)+∫304x3dx+∫30-3x2dx)
Langkah 6
Gabungkan 15 dan x5.
V=π(-(x55]30)+∫304x3dx+∫30-3x2dx)
Langkah 7
Karena 4 konstan terhadap x, pindahkan 4 keluar dari integral.
V=π(-(x55]30)+4∫30x3dx+∫30-3x2dx)
Langkah 8
Menurut Kaidah Pangkat, integral dari x3 terhadap x adalah 14x4.
V=π(-(x55]30)+4(14x4]30)+∫30-3x2dx)
Langkah 9
Gabungkan 14 dan x4.
V=π(-(x55]30)+4(x44]30)+∫30-3x2dx)
Langkah 10
Karena -3 konstan terhadap x, pindahkan -3 keluar dari integral.
V=π(-(x55]30)+4(x44]30)-3∫30x2dx)
Langkah 11
Menurut Kaidah Pangkat, integral dari x2 terhadap x adalah 13x3.
V=π(-(x55]30)+4(x44]30)-3(13x3]30))
Langkah 12
Langkah 12.1
Gabungkan 13 dan x3.
V=π(-(x55]30)+4(x44]30)-3(x33]30))
Langkah 12.2
Substitusikan dan sederhanakan.
Langkah 12.2.1
Evaluasi x55 pada 3 dan pada 0.
V=π(-((355)-055)+4(x44]30)-3(x33]30))
Langkah 12.2.2
Evaluasi x44 pada 3 dan pada 0.
V=π(-(355-055)+4(344-044)-3(x33]30))
Langkah 12.2.3
Evaluasi x33 pada 3 dan pada 0.
V=π(-(355-055)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4
Sederhanakan.
Langkah 12.2.4.1
Naikkan 3 menjadi pangkat 5.
V=π(-(2435-055)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.2
Menaikkan 0 ke sebarang pangkat positif menghasilkan 0.
V=π(-(2435-05)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.3
Hapus faktor persekutuan dari 0 dan 5.
Langkah 12.2.4.3.1
Faktorkan 5 dari 0.
V=π(-(2435-5(0)5)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.3.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.4.3.2.1
Faktorkan 5 dari 5.
V=π(-(2435-5⋅05⋅1)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.3.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
V=π(-(2435-5⋅05⋅1)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.3.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
V=π(-(2435-01)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.3.2.4
Bagilah 0 dengan 1.
V=π(-(2435-0)+4(344-044)-3((333)-033))
V=π(-(2435-0)+4(344-044)-3((333)-033))
V=π(-(2435-0)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.4
Kalikan -1 dengan 0.
V=π(-(2435+0)+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.5
Tambahkan 2435 dan 0.
V=π(-2435+4(344-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.6
Naikkan 3 menjadi pangkat 4.
V=π(-2435+4(814-044)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.7
Menaikkan 0 ke sebarang pangkat positif menghasilkan 0.
V=π(-2435+4(814-04)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.8
Hapus faktor persekutuan dari 0 dan 4.
Langkah 12.2.4.8.1
Faktorkan 4 dari 0.
V=π(-2435+4(814-4(0)4)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.8.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.4.8.2.1
Faktorkan 4 dari 4.
V=π(-2435+4(814-4⋅04⋅1)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.8.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
V=π(-2435+4(814-4⋅04⋅1)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.8.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
V=π(-2435+4(814-01)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.8.2.4
Bagilah 0 dengan 1.
V=π(-2435+4(814-0)-3((333)-033))
V=π(-2435+4(814-0)-3((333)-033))
V=π(-2435+4(814-0)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.9
Kalikan -1 dengan 0.
V=π(-2435+4(814+0)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.10
Tambahkan 814 dan 0.
V=π(-2435+4(814)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.11
Gabungkan 4 dan 814.
V=π(-2435+4⋅814-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.12
Kalikan 4 dengan 81.
V=π(-2435+3244-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.13
Hapus faktor persekutuan dari 324 dan 4.
Langkah 12.2.4.13.1
Faktorkan 4 dari 324.
V=π(-2435+4⋅814-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.13.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.4.13.2.1
Faktorkan 4 dari 4.
V=π(-2435+4⋅814(1)-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.13.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
V=π(-2435+4⋅814⋅1-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.13.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
V=π(-2435+811-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.13.2.4
Bagilah 81 dengan 1.
V=π(-2435+81-3((333)-033))
V=π(-2435+81-3((333)-033))
V=π(-2435+81-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.14
Untuk menuliskan 81 sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan 55.
V=π(-2435+81⋅55-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.15
Gabungkan 81 dan 55.
V=π(-2435+81⋅55-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.16
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
V=π(-243+81⋅55-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.17
Sederhanakan pembilangnya.
Langkah 12.2.4.17.1
Kalikan 81 dengan 5.
V=π(-243+4055-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.17.2
Tambahkan -243 dan 405.
V=π(1625-3((333)-033))
V=π(1625-3((333)-033))
Langkah 12.2.4.18
Naikkan 3 menjadi pangkat 3.
V=π(1625-3(273-033))
Langkah 12.2.4.19
Hapus faktor persekutuan dari 27 dan 3.
Langkah 12.2.4.19.1
Faktorkan 3 dari 27.
V=π(1625-3(3⋅93-033))
Langkah 12.2.4.19.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.4.19.2.1
Faktorkan 3 dari 3.
V=π(1625-3(3⋅93(1)-033))
Langkah 12.2.4.19.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
V=π(1625-3(3⋅93⋅1-033))
Langkah 12.2.4.19.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
V=π(1625-3(91-033))
Langkah 12.2.4.19.2.4
Bagilah 9 dengan 1.
V=π(1625-3(9-033))
V=π(1625-3(9-033))
V=π(1625-3(9-033))
Langkah 12.2.4.20
Menaikkan 0 ke sebarang pangkat positif menghasilkan 0.
V=π(1625-3(9-03))
Langkah 12.2.4.21
Hapus faktor persekutuan dari 0 dan 3.
Langkah 12.2.4.21.1
Faktorkan 3 dari 0.
V=π(1625-3(9-3(0)3))
Langkah 12.2.4.21.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 12.2.4.21.2.1
Faktorkan 3 dari 3.
V=π(1625-3(9-3⋅03⋅1))
Langkah 12.2.4.21.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
V=π(1625-3(9-3⋅03⋅1))
Langkah 12.2.4.21.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
V=π(1625-3(9-01))
Langkah 12.2.4.21.2.4
Bagilah 0 dengan 1.
V=π(1625-3(9-0))
V=π(1625-3(9-0))
V=π(1625-3(9-0))
Langkah 12.2.4.22
Kalikan -1 dengan 0.
V=π(1625-3(9+0))
Langkah 12.2.4.23
Tambahkan 9 dan 0.
V=π(1625-3⋅9)
Langkah 12.2.4.24
Kalikan -3 dengan 9.
V=π(1625-27)
Langkah 12.2.4.25
Untuk menuliskan -27 sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan 55.
V=π(1625-27⋅55)
Langkah 12.2.4.26
Gabungkan -27 dan 55.
V=π(1625+-27⋅55)
Langkah 12.2.4.27
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
V=π(162-27⋅55)
Langkah 12.2.4.28
Sederhanakan pembilangnya.
Langkah 12.2.4.28.1
Kalikan -27 dengan 5.
V=π(162-1355)
Langkah 12.2.4.28.2
Kurangi 135 dengan 162.
V=π(275)
V=π(275)
Langkah 12.2.4.29
Gabungkan π dan 275.
V=π⋅275
Langkah 12.2.4.30
Pindahkan 27 ke sebelah kiri π.
V=27π5
V=27π5
V=27π5
V=27π5
Langkah 13
Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.
Bentuk Eksak:
V=27π5
Bentuk Desimal:
V=16.96460032…
Langkah 14