Kalkulus Contoh

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Langkah 1

Akar Rata-Rata Kuadrat (RMS) dari fungsi $f$ di sepanjang interval tertentu $[a, b]$ adalah akar kuadrat dari rata-rata (rerata) aritmetik dari kuadrat nilai-nilai aslinya.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Langkah 2

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk akar rata-rata kuadrat dari fungsi.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Langkah 3

Evaluasi integralnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 4 x - 2$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Biarkan $u = 4 x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Diferensialkan $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Langkah 3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.1.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 3.1.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 3.1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Langkah 3.1.3.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 3.1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Langkah 3.1.5.2

Kurangi $2$ dengan $12$ .

$u_{upper} = 10$

Langkah 3.1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Langkah 3.1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Langkah 3.2

Gabungkan $u^{2}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Langkah 3.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Langkah 3.5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Evaluasi $\frac{1}{3} u^{3}$ pada $10$ dan pada $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 3.5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 3.5.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Langkah 3.5.2.4

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Langkah 3.5.2.5

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Langkah 3.5.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 3.5.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Langkah 3.5.2.8

Kurangi $8$ dengan $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Langkah 3.5.2.9

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Langkah 3.5.2.10

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{992}{12}$

Langkah 3.5.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $992$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.1

Faktorkan $4$ dari $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Langkah 3.5.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.11.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Langkah 3.5.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Langkah 3.5.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{248}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan rumus akar rata-rata kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{1}{3 - 1}$ dengan $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Langkah 4.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Langkah 4.3

Kurangi pernyataan $\frac{248}{2 \cdot 3}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $2$ dari $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Langkah 4.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{124}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali $124$ sebagai $2^{2} \cdot 31$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Langkah 4.5.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Langkah 4.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Langkah 4.6

Kalikan $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 4.7.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 4.7.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 4.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Langkah 4.8.2

Kalikan $3$ dengan $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Bentuk Desimal:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Langkah 6

Masukkan Soal