Kalkulus Contoh

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

(5, 7)

$(5, 7)$

Langkah 1

Tulis

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ sebagai fungsi.

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f (x)$ kontinu di

$[5, 7]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi

$f$ di sepanjang interval

$[a, b]$ didefinisikan sebagai

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Langkah 7

Karena

$3$ konstan terhadap

$x$ , pindahkan

$3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x^{3}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Langkah 9

Gabungkan

$\frac{1}{4}$ dan

$x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan

$\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ dan

$3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi

$\frac{x^{4}}{4}$ pada

$7$ dan pada

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Langkah 12.2.2

Evaluasi

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ pada

$7$ dan pada

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Naikkan

$7$ menjadi pangkat

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.2

Naikkan

$5$ menjadi pangkat

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.4

Kurangi

$625$ dengan

$2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.5

Hapus faktor persekutuan dari

$1776$ dan

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.5.1

Faktorkan

$4$ dari

$1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.5.2.1

Faktorkan

$4$ dari

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.5.2.4

Bagilah

$444$ dengan

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.6

Kalikan

$3$ dengan

$444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.7

Naikkan

$7$ menjadi pangkat

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.8

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.9

Kalikan

$3$ dengan

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.10

Untuk menuliskan

$21$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.11

Gabungkan

$21$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.13.1

Kalikan

$21$ dengan

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.13.2

Tambahkan

$49$ dan

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.14

Naikkan

$5$ menjadi pangkat

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.15

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Langkah 12.2.3.16

Kalikan

$3$ dengan

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Langkah 12.2.3.17

Untuk menuliskan

$15$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Langkah 12.2.3.18

Gabungkan

$15$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Langkah 12.2.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Langkah 12.2.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.20.1

Kalikan

$15$ dengan

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Langkah 12.2.3.20.2

Tambahkan

$25$ dan

$30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Langkah 12.2.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Langkah 12.2.3.22

Kurangi

$55$ dengan

$91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Langkah 12.2.3.23

Hapus faktor persekutuan dari

$36$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.23.1

Faktorkan

$2$ dari

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Langkah 12.2.3.23.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.23.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Langkah 12.2.3.23.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Langkah 12.2.3.23.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Langkah 12.2.3.23.2.4

Bagilah

$18$ dengan

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Langkah 12.2.3.24

Tambahkan

$1332$ dan

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Langkah 13

Kurangi

$5$ dengan

$7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan

$2$ dari

$1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 675$

Langkah 15

Masukkan Soal