Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 6]$

Langkah 1

Tentukan turunan dari $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f' (x)$ kontinu di $[0, 6]$ .

$f' (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f'$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $6$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

Langkah 11.2

Evaluasi $2 x$ pada $6$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.6

Tambahkan $18$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.7

Kalikan $2$ dengan $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

Langkah 11.3.10

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

Langkah 11.3.11

Tambahkan $36$ dan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

Langkah 12.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $6$ dari $48$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 8$

Langkah 14

Masukkan Soal