Kalkulus Contoh
f(x)=x2+2x-3f(x)=x2+2x−3 , [0,6]
Langkah 1
Langkah 1.1
Tentukan turunan pertamanya.
Langkah 1.1.1
Diferensialkan.
Langkah 1.1.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari x2+2x-3 terhadap x adalah ddx[x2]+ddx[2x]+ddx[-3].
ddx[x2]+ddx[2x]+ddx[-3]
Langkah 1.1.1.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ddx[xn] adalah nxn-1 di mana n=2.
2x+ddx[2x]+ddx[-3]
2x+ddx[2x]+ddx[-3]
Langkah 1.1.2
Evaluasi ddx[2x].
Langkah 1.1.2.1
Karena 2 konstan terhadap x, turunan dari 2x terhadap x adalah 2ddx[x].
2x+2ddx[x]+ddx[-3]
Langkah 1.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa ddx[xn] adalah nxn-1 di mana n=1.
2x+2⋅1+ddx[-3]
Langkah 1.1.2.3
Kalikan 2 dengan 1.
2x+2+ddx[-3]
2x+2+ddx[-3]
Langkah 1.1.3
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Langkah 1.1.3.1
Karena -3 konstan terhadap x, turunan dari -3 terhadap x adalah 0.
2x+2+0
Langkah 1.1.3.2
Tambahkan 2x+2 dan 0.
f′(x)=2x+2
f′(x)=2x+2
f′(x)=2x+2
Langkah 1.2
Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah 2x+2.
2x+2
2x+2
Langkah 2
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Notasi Interval:
(-∞,∞)
Notasi Pembuat Himpunan:
{x|x∈ℝ}
Langkah 3
f′(x) kontinu di [0,6].
f′(x) kontinu
Langkah 4
Nilai rerata dari fungsi f′ di sepanjang interval [a,b] didefinisikan sebagai A(x)=1b-a∫baf(x)dx.
A(x)=1b-a∫baf(x)dx
Langkah 5
Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.
A(x)=16-0(∫602x+2dx)
Langkah 6
Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.
A(x)=16-0(∫602xdx+∫602dx)
Langkah 7
Karena 2 konstan terhadap x, pindahkan 2 keluar dari integral.
A(x)=16-0(2∫60xdx+∫602dx)
Langkah 8
Menurut Kaidah Pangkat, integral dari x terhadap x adalah 12x2.
A(x)=16-0(2(12x2]60)+∫602dx)
Langkah 9
Gabungkan 12 dan x2.
A(x)=16-0(2(x22]60)+∫602dx)
Langkah 10
Terapkan aturan konstanta.
A(x)=16-0(2(x22]60)+2x]60)
Langkah 11
Langkah 11.1
Evaluasi x22 pada 6 dan pada 0.
A(x)=16-0(2((622)-022)+2x]60)
Langkah 11.2
Evaluasi 2x pada 6 dan pada 0.
A(x)=16-0(2(622-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3
Sederhanakan.
Langkah 11.3.1
Naikkan 6 menjadi pangkat 2.
A(x)=16-0(2(362-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.2
Hapus faktor persekutuan dari 36 dan 2.
Langkah 11.3.2.1
Faktorkan 2 dari 36.
A(x)=16-0(2(2⋅182-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 11.3.2.2.1
Faktorkan 2 dari 2.
A(x)=16-0(2(2⋅182(1)-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.2.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
A(x)=16-0(2(2⋅182⋅1-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.2.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
A(x)=16-0(2(181-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.2.2.4
Bagilah 18 dengan 1.
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-022)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.3
Menaikkan 0 ke sebarang pangkat positif menghasilkan 0.
A(x)=16-0(2(18-02)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.4
Hapus faktor persekutuan dari 0 dan 2.
Langkah 11.3.4.1
Faktorkan 2 dari 0.
A(x)=16-0(2(18-2(0)2)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 11.3.4.2.1
Faktorkan 2 dari 2.
A(x)=16-0(2(18-2⋅02⋅1)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
A(x)=16-0(2(18-2⋅02⋅1)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
A(x)=16-0(2(18-01)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.4.2.4
Bagilah 0 dengan 1.
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
A(x)=16-0(2(18-0)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.5
Kalikan -1 dengan 0.
A(x)=16-0(2(18+0)+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.6
Tambahkan 18 dan 0.
A(x)=16-0(2⋅18+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.7
Kalikan 2 dengan 18.
A(x)=16-0(36+2⋅6-2⋅0)
Langkah 11.3.8
Kalikan 2 dengan 6.
A(x)=16-0(36+12-2⋅0)
Langkah 11.3.9
Kalikan -2 dengan 0.
A(x)=16-0(36+12+0)
Langkah 11.3.10
Tambahkan 12 dan 0.
A(x)=16-0(36+12)
Langkah 11.3.11
Tambahkan 36 dan 12.
A(x)=16-0(48)
A(x)=16-0(48)
A(x)=16-0(48)
Langkah 12
Langkah 12.1
Kalikan -1 dengan 0.
A(x)=16+0⋅48
Langkah 12.2
Tambahkan 6 dan 0.
A(x)=16⋅48
A(x)=16⋅48
Langkah 13
Langkah 13.1
Faktorkan 6 dari 48.
A(x)=16⋅(6(8))
Langkah 13.2
Batalkan faktor persekutuan.
A(x)=16⋅(6⋅8)
Langkah 13.3
Tulis kembali pernyataannya.
A(x)=8
A(x)=8
Langkah 14