Kalkulus Contoh

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

(1, 6)

$(1, 6)$

Langkah 1

Tulis

y = 3 x^{2} + 3 x

$y = 3 x^{2} + 3 x$ sebagai fungsi.

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Langkah 2

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ pada

x = 1

$x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel

x

$x$ dengan

1

$1$ pada pernyataan tersebut.

f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan

3

$3$ dengan

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3 (1)

$f (1) = 3 + 3 (1)$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan

3

$3$ dengan

1

$1$ .

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

f (1) = 3 + 3

$f (1) = 3 + 3$

Langkah 2.1.2.2

Tambahkan

3

$3$ dan

3

$3$ .

f (1) = 6

$f (1) = 6$

Langkah 2.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah

6

$6$ .

6

$6$

6

$6$

6

$6$

Langkah 2.2

Karena

6 = 6

$6 = 6$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 3

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0)

=

$=$ Turunan dari

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Langkah 4

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 5

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi fungsi pada

x = x + h

$x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ganti variabel

x

$x$ dengan

x + h

$x + h$ pada pernyataan tersebut.

f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Tulis kembali

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ sebagai

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2

Perluas

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.1.1

Kalikan

x

$x$ dengan

x

$x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.1.2

Kalikan

h

$h$ dengan

h

$h$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.2

Tambahkan

x h

$x h$ dan

h x

$h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.2.1

Susun kembali

x

$x$ dan

h

$h$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.2.2

Tambahkan

h x

$h x$ dan

h x

$h x$ .

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.5

Kalikan

2

$2$ dengan

3

$3$ .

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Langkah 5.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Langkah 5.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan

3 x

$3 x$ .

3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.2.2

Pindahkan

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.2.3

Susun kembali

6 h x

$6 h x$ dan

3 h^{2}

$3 h^{2}$ .

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Langkah 5.3

Tentukan komponen dari definisinya.

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = 3 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Langkah 6

Masukkan komponen.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Langkah 7.1.2

Kalikan

3

$3$ dengan

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Langkah 7.1.3

Kalikan

3

$3$ dengan

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.4

Kurangi

3 x^{2}

$3 x^{2}$ dengan

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.5

Tambahkan

3 h^{2}

$3 h^{2}$ dan

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Langkah 7.1.6

Kurangi

3 x

$3 x$ dengan

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Langkah 7.1.7

Tambahkan

3 h^{2} + 6 h x + 3 h

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ dan

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

3 h^{2} + 6 h x + 3 h

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

3 h^{2}

$3 h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.2

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

6 h x

$6 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.3

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

3 h

$3 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Langkah 7.1.8.4

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

3 h \cdot h + 3 h (2 x)

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Langkah 7.1.8.5

Faktorkan

3 h

$3 h$ dari

3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Langkah 7.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

h

$h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah

$3 (h + 2 x + 1)$ dengan

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Langkah 7.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan

$2$ dengan

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Langkah 7.3.2

Kalikan

$3$ dengan

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Langkah 7.4

Susun kembali

$3 h$ dan

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

$h$ mendekati

$0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.2

Evaluasi limit dari

$6 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.3

Pindahkan suku

$3$ ke luar limit karena konstan terhadap

$h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Langkah 8.4

Evaluasi limit dari

$3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

$0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Langkah 9

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan

$0$ ke dalam (Variabel2).

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan

$3$ dengan

$0$ .

$6 x + 0 + 3$

Langkah 10.2

Tambahkan

$6 x$ dan

$0$ .

$6 x + 3$

Langkah 11

Sederhanakan

$6 (1) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan

$6$ dengan

$1$ .

$m = 6 + 3$

Langkah 11.2

Tambahkan

$6$ dan

$3$ .

$m = 9$

Langkah 12

Gradiennya adalah

$m = 9$ dan titiknya adalah

$(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Langkah 13

Temukan nilai dari

$b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari

$b$ .

$y = m x + b$

Langkah 13.2

Substitusikan nilai

$m$ ke dalam persamaannya.

$y = (9) \cdot x + b$

Langkah 13.3

Substitusikan nilai

$x$ ke dalam persamaannya.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Langkah 13.4

Substitusikan nilai

$y$ ke dalam persamaannya.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Langkah 13.5

Temukan nilai dari

$b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

$(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Langkah 13.5.2

Kalikan

$9$ dengan

$1$ .

$9 + b = 6$

Langkah 13.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.3.1

Kurangkan

$9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b = 6 - 9$

Langkah 13.5.3.2

Kurangi

$9$ dengan

$6$ .

$b = - 3$

Langkah 14

Sekarang setelah nilai-nilai dari

$m$ (gradien) dan

$b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam

$y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = 9 x - 3$

Langkah 15

Masukkan Soal