Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $12 x^{2} + 12 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} + 12 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{2} + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 12 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $12 x$ dari $12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Langkah 3.1.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 8$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Langkah 3.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 3.1.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ adalah $(0, 1)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 1)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Langkah 3.3.2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Langkah 3.3.2.2.3

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$f (- 1) = 8$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $8$ .

$8$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ adalah $(- 1, 8)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, 8)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Langkah 5.2.2

Kurangi $13.2$ dengan $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.32$ .

$1.32$

Langkah 5.3

Pada $- 1.1$ , turunan keduanya adalah $1.32$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 6.2.1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.8

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Langkah 6.2.2

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.3

Pada $- \frac{1}{2}$ , turunan kedua adalah $- 3$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 1, 0)$

Menurun pada $(- 1, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0.12$ dan $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.32$ .

$1.32$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $1.32$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Langkah 9

Masukkan Soal