Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$5 x^{3} - 5 x^{2}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena

$5$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$5 x^{3}$ terhadap

$x$ adalah

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan

$3$ dengan

$5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena

$- 5$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 5 x^{2}$ terhadap

$x$ adalah

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan

$2$ dengan

$- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$15 x^{2} - 10 x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena

$15$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$15 x^{2}$ terhadap

$x$ adalah

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan

$2$ dengan

$15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena

$- 10$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 10 x$ terhadap

$x$ adalah

$- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan

$- 10$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari

$f (x)$ terhadap

$x$ adalah

$30 x - 10$ .

$30 x - 10$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$30 x - 10 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan

$0$ .

$30 x - 10 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan

$10$ ke kedua sisi persamaan.

$30 x = 10$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada

$30 x = 10$ dengan

$30$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di

$30 x = 10$ dengan

$30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$30$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{10}{30}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari

$10$ dan

$30$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan

$10$ dari

$10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan

$10$ dari

$30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

$\frac{1}{3}$ dalam

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.4

Gabungkan

$5$ dan

$\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.7

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

Langkah 3.1.2.1.8

Gabungkan

$- 5$ dan

$\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

Langkah 3.1.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

Langkah 3.1.2.2

Untuk menuliskan

$- \frac{5}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari

$27$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari

$1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Kalikan

$\frac{5}{9}$ dengan

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Langkah 3.1.2.3.2

Kalikan

$9$ dengan

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

Langkah 3.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Kalikan

$- 5$ dengan

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

Langkah 3.1.2.5.2

Kurangi

$15$ dengan

$5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Langkah 3.1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

Langkah 3.1.2.7

Jawaban akhirnya adalah

$- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi

$\frac{1}{3}$ dalam

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ adalah

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Langkah 4

Pisahkan

$(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval

$(- \infty, \frac{1}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$0.2\overline{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan

$30$ dengan

$0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

Langkah 5.2.2

Kurangi

$10$ dengan

$7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$- 3$ .

$- 3$

Langkah 5.3

Pada

$0.2\overline{3}$ , turunan kedua adalah

$- 3$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval

$(- \infty, \frac{1}{3})$

Menurun pada

$(- \infty, \frac{1}{3})$ karena

$f'' (x) < 0$

Menurun pada

$(- \infty, \frac{1}{3})$ karena

$f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval

$(\frac{1}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$0.4\overline{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan

$30$ dengan

$0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

Langkah 6.2.2

Kurangi

$10$ dengan

$13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$3$ .

$3$

Langkah 6.3

Pada

$0.4\overline{3}$ , turunan keduanya adalah

$3$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval

$(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada

$(\frac{1}{3}, \infty)$ karena

$f'' (x) > 0$

Meningkat pada

$(\frac{1}{3}, \infty)$ karena

$f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Langkah 8

Masukkan Soal