Kalkulus Contoh

f (x) = x^{4} - 4 x^{2}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ ,

[- 3, 4]

$[- 3, 4]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x^{4} - 4 x^{2}

$x^{4} - 4 x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 4

$n = 4$ .

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi

\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena

- 4

$- 4$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 4 x^{2}

$- 4 x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

4 x^{3} - 4 (2 x)

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan

2

$2$ dengan

- 4

$- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari

$f (x)$ terhadap

$x$ adalah

$4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan

$4 x$ dari

$4 x^{3} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan

$4 x$ dari

$4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan

$4 x$ dari

$- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan

$4 x$ dari

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur

$x$ sama dengan

$0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur

$x^{2} - 2$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur

$x^{2} - 2$ sama dengan

$0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan

$x^{2} - 2 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Tambahkan

$2$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 2$

Langkah 1.2.5.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 1.2.5.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 1.2.5.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ benar.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi

$x^{4} - 4 x^{2}$ di setiap nilai

$x$ di mana turunannya adalah

$0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada

$x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan

$0$ untuk

$x$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Kalikan

$- 4$ dengan

$0$ .

$0 + 0$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada

$x = \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan

$\sqrt{2}$ untuk

$x$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{4}$ sebagai

$2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari

$4$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Bagilah

$2$ dengan

$1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Naikkan

$2$ menjadi pangkat

$2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.3.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 1.4.2.2.1.3.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.4.2.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.4.2.2.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Langkah 1.4.2.2.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$4 - 4 \cdot 2$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Kalikan

$- 4$ dengan

$2$ .

$4 - 8$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi

$8$ dengan

$4$ .

$- 4$

Langkah 1.4.3

Evaluasi pada

$x = - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan

$- \sqrt{2}$ untuk

$x$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.3

Kalikan

${\sqrt{2}}^{4}$ dengan

$1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{4}$ sebagai

$2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.4.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.4

Hapus faktor persekutuan dari

$4$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Bagilah

$2$ dengan

$1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.5

Naikkan

$2$ menjadi pangkat

$2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- \sqrt{2}$ .

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Langkah 1.4.3.2.1.7

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Langkah 1.4.3.2.1.8

Kalikan

${\sqrt{2}}^{2}$ dengan

$1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.9

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.9.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 1.4.3.2.1.9.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 1.4.3.2.1.9.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.4.3.2.1.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.4.3.2.1.9.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Langkah 1.4.3.2.1.9.5

Evaluasi eksponennya.

$4 - 4 \cdot 2$

Langkah 1.4.3.2.1.10

Kalikan

$- 4$ dengan

$2$ .

$4 - 8$

Langkah 1.4.3.2.2

Kurangi

$8$ dengan

$4$ .

$- 4$

Langkah 1.4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada

$x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan

$- 3$ untuk

$x$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Naikkan

$- 3$ menjadi pangkat

$4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Langkah 2.1.2.1.2

Naikkan

$- 3$ menjadi pangkat

$2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan

$- 4$ dengan

$9$ .

$81 - 36$

Langkah 2.1.2.2

Kurangi

$36$ dengan

$81$ .

$45$

Langkah 2.2

Evaluasi pada

$x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan

$4$ untuk

$x$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Langkah 2.2.2.1.3

Kalikan

$- 4$ dengan

$16$ .

$256 - 64$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi

$64$ dengan

$256$ .

$192$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Langkah 3

Bandingkan nilai

$f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai

$x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai

$f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai

$f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak:

$(4, 192)$

Minimum Mutlak:

$(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Langkah 4

Masukkan Soal