Kalkulus Contoh

f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.2

Evaluasi

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena

4

$4$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

4 x^{3}

$4 x^{3}$ terhadap

x

$x$ adalah

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 3

$n = 3$ .

4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.2.3

Kalikan

3

$3$ dengan

4

$4$ .

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- x^{4}$ terhadap

$x$ adalah

$- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.3.3

Kalikan

$4$ dengan

$- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 1.4.2

Karena

$5$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$5$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ dan

$0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Langkah 2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx 3.02727941$

Langkah 3

Bagi

$(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai

$x$ yang membuat turunan pertamanya

$0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti

$0$ , dari interval

$(- \infty, 3.02727941)$ dalam turunan pertama

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 4.2.1.3

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan

$12$ dengan

$0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$1$ .

$1$

Langkah 5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti

$6$ , dari interval

$(3.02727941, \infty)$ dalam turunan pertama

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan

$6$ menjadi pangkat

$3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan

$6$ menjadi pangkat

$2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan

$12$ dengan

$36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan

$- 864$ dan

$432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan

$- 432$ dan

$1$ .

$f' (6) = - 431$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$- 431$ .

$- 431$

Langkah 6

Karena turunan pertamanya berubah tanda dari positif menjadi negatif di sekitar

$x = 3.02727941$ , maka ada titik balik di

$x = 3.02727941$ .

Langkah 7

Tentukan koordinat y dari

$3.02727941$ untuk menentukan titik belok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tentukan

$f (3.02727941)$ untuk mencari koordinat y dari

$3.02727941$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$3.02727941$ pada pernyataan tersebut.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2

Sederhanakan

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.2.1

Naikkan

$3.02727941$ menjadi pangkat

$3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.2.2

Kalikan

$4$ dengan

$27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.2.3

Naikkan

$3.02727941$ menjadi pangkat

$4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.3.1

Kurangi

$83.98660555$ dengan

$110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Langkah 7.1.2.3.2

Tambahkan

$26.98644204$ dan

$3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Langkah 7.1.2.3.3

Tambahkan

$30.01372146$ dan

$5$ .

$35.01372146$

Langkah 7.2

Tuliskan koordinat

$x$ dan

$y$ dalam bentuk titik.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Langkah 8

Masukkan Soal