Kalkulus Contoh

lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Langkah 1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

6 x^{4} - 5 x^{2}

$6 x^{4} - 5 x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.3

Evaluasi

\frac{d}{d x} [6 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena

6

$6$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

6 x^{4}

$6 x^{4}$ terhadap

x

$x$ adalah

6 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 4

$n = 4$ .

lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.3.3

Kalikan

4

$4$ dengan

6

$6$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.4

Evaluasi

\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena

- 5

$- 5$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan

2

$2$ dengan

- 5

$- 5$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

7 x^{4} + 14

$7 x^{4} + 14$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Langkah 3.6

Evaluasi

\frac{d}{d x} [7 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena

7

$7$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

7 x^{4}

$7 x^{4}$ terhadap

x

$x$ adalah

7 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 4

$n = 4$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Langkah 3.6.3

Kalikan

4

$4$ dengan

7

$7$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Langkah 3.7

Karena

14

$14$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

14

$14$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Langkah 3.8

Tambahkan

28 x^{3}

$28 x^{3}$ dan

0

$0$ .

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Langkah 4

Pindahkan suku

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$ ke luar limit karena konstan terhadap

x

$x$ .

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Langkah 5

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari

x

$x$ dalam penyebut, yaitu

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari

x^{3}

$x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.1.2

Bagilah

24

$24$ dengan

1

$1$ .

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.2

Hapus faktor persekutuan dari

x

$x$ dan

x^{3}

$x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan

x

$x$ dari

- 10 x

$- 10 x$ .

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Faktorkan

x

$x$ dari

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari

x^{3}

$x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Langkah 6.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika

x

$x$ mendekati

\infty

$\infty$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika

x

$x$ mendekati

\infty

$\infty$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.5

Evaluasi limit dari

24

$24$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

\infty

$\infty$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 6.6

Pindahkan suku

10

$10$ ke luar limit karena konstan terhadap

x

$x$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ mendekati

0

$0$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limit dari

1

$1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati

\infty

$\infty$ .

\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah

24 - 10 \cdot 0

$24 - 10 \cdot 0$ dengan

1

$1$ .

\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Langkah 8.2.2

Kalikan

- 10

$- 10$ dengan

0

$0$ .

\frac{1}{28} (24 + 0)

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Langkah 8.2.3

Tambahkan

24

$24$ dan

0

$0$ .

\frac{1}{28} \cdot 24

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Langkah 8.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari

4

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Faktorkan

4

$4$ dari

28

$28$ .

\frac{1}{4 (7)} \cdot 24

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Langkah 8.2.4.2

Faktorkan

4

$4$ dari

24

$24$ .

\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Langkah 8.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Langkah 8.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

\frac{1}{7} \cdot 6

$\frac{1}{7} \cdot 6$

\frac{1}{7} \cdot 6

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Langkah 8.2.5

Gabungkan

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ dan

6

$6$ .

\frac{6}{7}

$\frac{6}{7}$

\frac{6}{7}

$\frac{6}{7}$

\frac{6}{7}

$\frac{6}{7}$

Masukkan Soal