Contoh

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 5.3.7

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 5.3.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 1, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(1, 0)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (1), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 1, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 8.3.8

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 8.3.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 8.3.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 8.3.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10

Masukkan Soal