Aljabar Contoh

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - 6 b - 3 c a - 2 b + c a + 3 b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

Langkah 1

Transformasi mendefinisikan pemetaan dari

R^{3}

$ℝ^{3}$ ke

R^{3}

$ℝ^{3}$ . Untuk membuktikan transformasinya linear, transformasinya harus mempertahankan perkalian skalar, penjumlahan, dan vektor nol.

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Langkah 2

Pertama, buktikan transformasi yang mempertahankan sifat ini.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Langkah 3

Buat dua matriks untuk menguji sifat penjumlahan dipertahankan untuk

S

$S$ .

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Langkah 4

Jumlahkan kedua matriks tersebut.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Langkah 5

Terapkan transformasi ke vektor.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali

x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6.2

Susun kembali

x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Langkah 6.3

Susun kembali

x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

Langkah 7

Pisahkan hasilnya menjadi dua matriks dengan mengelompokkan variabel.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Langkah 8

Sifat penambahan transformasi tetap benar.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Langkah 9

Untuk transformasi menjadi linear, harus mempertahankan perkalian skalar.

S (p x) = T ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Langkah 10

Faktorkan

p

$p$ dari setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan

p

$p$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

S (p x) = S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p a p b p c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Langkah 10.2

Terapkan transformasi ke vektor.

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) (p a) - 2 (p b) + p c (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Langkah 10.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Susun kembali

(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)

$(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p (p a) - 2 (p b) + p c (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Langkah 10.3.2

Susun kembali

(p a) - 2 (p b) + p c

$(p a) - 2 (p b) + p c$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Langkah 10.3.3

Susun kembali

(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)

$(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a p - 6 b p - 3 c p a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Langkah 10.4

Faktorkan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Elemen faktor

0, 0

$0, 0$ dengan mengalikan

a p - 6 b p - 3 c p

$a p - 6 b p - 3 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) a p - 2 b p + c p a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Langkah 10.4.2

Elemen faktor

1, 0

$1, 0$ dengan mengalikan

a p - 2 b p + c p

$a p - 2 b p + c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) a p + 3 b p + 5 c p \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Langkah 10.4.3

Elemen faktor

2, 0

$2, 0$ dengan mengalikan

a p + 3 b p + 5 c p

$a p + 3 b p + 5 c p$ .

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

S (p x) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} p (a - 6 b - 3 c) p (a - 2 b + c) p (a + 3 b + 5 c) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

Langkah 11

Sifat kedua dari transformasi linear dipertahankan dalam transformasi ini.

S ⎛ ⎜ ⎝ p ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Langkah 12

Agar transformasi menjadi linear, vektor nol harus dipertahankan.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Langkah 13

Terapkan transformasi ke vektor.

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 (0) - 2 \cdot 0 + 0 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Langkah 14

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Susun kembali

(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0

$(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 (0) - 2 \cdot 0 + 0 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Langkah 14.2

Susun kembali

(0) - 2 \cdot 0 + 0

$(0) - 2 \cdot 0 + 0$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 00 (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Langkah 14.3

Susun kembali

(0) + 3 (0) + 5 (0)

$(0) + 3 (0) + 5 (0)$ .

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 000 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 15

Vektor nol dipertahankan oleh transformasi.

S (0) = 0

$S (0) = 0$

Langkah 16

Karena tiga sifat transformasi linear tidak terpenuhi, maka ini bukanlah transformasi linear.

Transformasi Linear

Masukkan Soal