Aljabar Contoh

y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Langkah 1

Atur

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ sama dengan

0

$0$ .

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Langkah 2

Selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ di mana

p

$p$ adalah faktor dari konstanta dan

q

$q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan

2

$2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan

0

$0$ sehingga

2

$2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan

2

$2$ ke dalam polinomialnya.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Langkah 2.1.1.3.3

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Langkah 2.1.1.3.4

Kalikan

- 4

$- 4$ dengan

4

$4$ .

8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Langkah 2.1.1.3.5

Kurangi

16

$16$ dengan

8

$8$ .

- 8 - 11 \cdot 2 + 30

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Langkah 2.1.1.3.6

Kalikan

- 11

$- 11$ dengan

2

$2$ .

- 8 - 22 + 30

$- 8 - 22 + 30$

Langkah 2.1.1.3.7

Kurangi

22

$22$ dengan

- 8

$- 8$ .

- 30 + 30

$- 30 + 30$

Langkah 2.1.1.3.8

Tambahkan

- 30

$- 30$ dan

30

$30$ .

0

$0$

0

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena

2

$2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan

x - 2

$x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ dengan

x - 2

$x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

11 x

$11 x$

30

$30$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

x^{3}

$x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

- 15 x

$- 15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

- 15 x + 30

$- 15 x + 30$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$15$ $15$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$30$ $30$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$15 x$ $15 x$	+	$30$ $30$
							+	$15 x$ $15 x$	-	$30$ $30$
										$0$ $0$

Langkah 2.1.1.5.16

Karena sisanya adalah

0

$0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$

Langkah 2.1.1.6

Tulis

x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ sebagai himpunan faktor.

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan

x^{2} - 2 x - 15

$x^{2} - 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya

b

$b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya

- 15

$- 15$ dan jumlahnya

- 2

$- 2$ .

- 5, 3

$- 5, 3$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Langkah 2.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

0

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Langkah 2.3

Atur

x - 2

$x - 2$ agar sama dengan

0

$0$ dan selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur

x - 2

$x - 2$ sama dengan

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan

2

$2$ ke kedua sisi persamaan.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Langkah 2.4

Atur

x - 5

$x - 5$ agar sama dengan

0

$0$ dan selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur

x - 5

$x - 5$ sama dengan

0

$0$ .

x - 5 = 0

$x - 5 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan

5

$5$ ke kedua sisi persamaan.

x = 5

$x = 5$

x = 5

$x = 5$

Langkah 2.5

Atur

x + 3

$x + 3$ agar sama dengan

0

$0$ dan selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur

x + 3

$x + 3$ sama dengan

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan

3

$3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ benar. Kegandaan dari akar adalah jumlah banyaknya akar tersebut muncul.

x = 2

$x = 2$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

x = 2

$x = 2$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

x = 5

$x = 5$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

x = - 3

$x = - 3$ (Multiplisitas dari

1

$1$ )

Langkah 3

Masukkan Soal