Aljabar Contoh
A=[350750110]
Langkah 1
Langkah 1.1
Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik p(λ).
p(λ)=determinan(A-λI3)
Langkah 1.2
Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo 3 adalah matriks persegi 3×3 dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.
[100010001]
Langkah 1.3
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam p(λ)=determinan(A-λI3).
Langkah 1.3.1
Substitusikan [350750110] untuk A.
p(λ)=determinan([350750110]-λI3)
Langkah 1.3.2
Substitusikan [100010001] untuk I3.
p(λ)=determinan([350750110]-λ[100010001])
p(λ)=determinan([350750110]-λ[100010001])
Langkah 1.4
Sederhanakan.
Langkah 1.4.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 1.4.1.1
Kalikan -λ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Langkah 1.4.1.2.1
Kalikan -1 dengan 1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.2
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.2.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.2.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.3
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.3.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.3.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.4
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.4.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.4.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.5
Kalikan -1 dengan 1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.6
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.6.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.6.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.7
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.7.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.7.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.8
Kalikan -λ⋅0.
Langkah 1.4.1.2.8.1
Kalikan 0 dengan -1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.8.2
Kalikan 0 dengan λ.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Langkah 1.4.1.2.9
Kalikan -1 dengan 1.
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinan([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
Langkah 1.4.2
Tambahkan elemen yang seletak.
p(λ)=determinan[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Langkah 1.4.3
Sederhanakan setiap elemen.
Langkah 1.4.3.1
Tambahkan 5 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Langkah 1.4.3.2
Tambahkan 0 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]
Langkah 1.4.3.3
Tambahkan 7 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]
Langkah 1.4.3.4
Tambahkan 0 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ01+01+00-λ]
Langkah 1.4.3.5
Tambahkan 1 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ011+00-λ]
Langkah 1.4.3.6
Tambahkan 1 dan 0.
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ0110-λ]
Langkah 1.4.3.7
Kurangi λ dengan 0.
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinan[3-λ5075-λ011-λ]
Langkah 1.5
Temukan determinan.
Langkah 1.5.1
Pilih baris atau kolom dengan elemen 0 paling banyak. Jika tidak ada elemen 0, pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di kolom 3 dengan kofaktornya dan tambahkan.
Langkah 1.5.1.1
Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.
|+-+-+-+-+|
Langkah 1.5.1.2
Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi - di grafik tanda.
Langkah 1.5.1.3
Minor untuk a13 adalah determinan dengan baris 1 dan kolom 3 dihapus.
|75-λ11|
Langkah 1.5.1.4
Kalikan elemen a13 dengan kofaktornya.
0|75-λ11|
Langkah 1.5.1.5
Minor untuk a23 adalah determinan dengan baris 2 dan kolom 3 dihapus.
|3-λ511|
Langkah 1.5.1.6
Kalikan elemen a23 dengan kofaktornya.
0|3-λ511|
Langkah 1.5.1.7
Minor untuk a33 adalah determinan dengan baris 3 dan kolom 3 dihapus.
|3-λ575-λ|
Langkah 1.5.1.8
Kalikan elemen a33 dengan kofaktornya.
-λ|3-λ575-λ|
Langkah 1.5.1.9
Tambahkan semua sukunya.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Langkah 1.5.2
Kalikan 0 dengan |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Langkah 1.5.3
Kalikan 0 dengan |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Langkah 1.5.4
Evaluasi |3-λ575-λ|.
Langkah 1.5.4.1
Determinan dari matriks 2×2 dapat dicari menggunakan rumus |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2
Sederhanakan determinannya.
Langkah 1.5.4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 1.5.4.2.1.1
Perluas (3-λ)(5-λ) menggunakan Metode FOIL.
Langkah 1.5.4.2.1.1.1
Terapkan sifat distributif.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.1.2
Terapkan sifat distributif.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.1.3
Terapkan sifat distributif.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2
Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.
Langkah 1.5.4.2.1.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.1
Kalikan 3 dengan 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.2
Kalikan -1 dengan 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.3
Kalikan 5 dengan -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.4
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5
Kalikan λ dengan λ dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Pindahkan λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Kalikan λ dengan λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.6
Kalikan -1 dengan -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.1.7
Kalikan λ2 dengan 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.2.2
Kurangi 5λ dengan -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Langkah 1.5.4.2.1.3
Kalikan -7 dengan 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Langkah 1.5.4.2.2
Kurangi 35 dengan 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Langkah 1.5.4.2.3
Susun kembali -8λ dan λ2.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Langkah 1.5.5
Sederhanakan determinannya.
Langkah 1.5.5.1
Gabungkan suku balikan dalam 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Langkah 1.5.5.1.1
Tambahkan 0 dan 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Langkah 1.5.5.1.2
Kurangi λ(λ2-8λ-20) dengan 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Langkah 1.5.5.2
Terapkan sifat distributif.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3
Sederhanakan.
Langkah 1.5.5.3.1
Kalikan λ dengan λ2 dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 1.5.5.3.1.1
Pindahkan λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3.1.2
Kalikan λ2 dengan λ.
Langkah 1.5.5.3.1.2.1
Naikkan λ menjadi pangkat 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3.1.2.2
Gunakan kaidah pangkat aman=am+n untuk menggabungkan pangkat.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3.1.3
Tambahkan 2 dan 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3.2
Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Langkah 1.5.5.3.3
Kalikan -20 dengan -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Langkah 1.5.5.4
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 1.5.5.4.1
Kalikan λ dengan λ dengan menambahkan eksponennya.
Langkah 1.5.5.4.1.1
Pindahkan λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Langkah 1.5.5.4.1.2
Kalikan λ dengan λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Langkah 1.5.5.4.2
Kalikan -1 dengan -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Langkah 1.6
Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan 0 untuk menemukan nilai eigen λ.
-λ3+8λ2+20λ=0
Langkah 1.7
Selesaikan λ.
Langkah 1.7.1
Faktorkan sisi kiri persamaannya.
Langkah 1.7.1.1
Faktorkan -λ dari -λ3+8λ2+20λ.
Langkah 1.7.1.1.1
Faktorkan -λ dari -λ3.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Langkah 1.7.1.1.2
Faktorkan -λ dari 8λ2.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Langkah 1.7.1.1.3
Faktorkan -λ dari 20λ.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Langkah 1.7.1.1.4
Faktorkan -λ dari -λ(λ2)-λ(-8λ).
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Langkah 1.7.1.1.5
Faktorkan -λ dari -λ(λ2-8λ)-λ(-20).
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Langkah 1.7.1.2
Faktorkan.
Langkah 1.7.1.2.1
Faktorkan λ2-8λ-20 menggunakan metode AC.
Langkah 1.7.1.2.1.1
Mempertimbangkan bentuk x2+bx+c. Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya b. Dalam hal ini, hasil kalinya -20 dan jumlahnya -8.
-10,2
Langkah 1.7.1.2.1.2
Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Langkah 1.7.1.2.2
Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Langkah 1.7.2
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan 0, seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Langkah 1.7.3
Atur λ sama dengan 0.
λ=0
Langkah 1.7.4
Atur λ-10 agar sama dengan 0 dan selesaikan λ.
Langkah 1.7.4.1
Atur λ-10 sama dengan 0.
λ-10=0
Langkah 1.7.4.2
Tambahkan 10 ke kedua sisi persamaan.
λ=10
λ=10
Langkah 1.7.5
Atur λ+2 agar sama dengan 0 dan selesaikan λ.
Langkah 1.7.5.1
Atur λ+2 sama dengan 0.
λ+2=0
Langkah 1.7.5.2
Kurangkan 2 dari kedua sisi persamaan tersebut.
λ=-2
λ=-2
Langkah 1.7.6
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat -λ(λ-10)(λ+2)=0 benar.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Langkah 2
Vektor eigen sama dengan ruang nol matriks dikurangi sebanyak nilai eigen matriks satuannya di mana N adalah ruang nol dan I adalah matriks satuan.
εA=N(A-λI3)
Langkah 3
Langkah 3.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
N([350750110]+0[100010001])
Langkah 3.2
Sederhanakan.
Langkah 3.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 3.2.1.1
Kalikan 0 dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Langkah 3.2.1.2.1
Kalikan 0 dengan 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.2
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.3
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.4
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.5
Kalikan 0 dengan 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.6
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.7
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Langkah 3.2.1.2.8
Kalikan 0 dengan 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Langkah 3.2.1.2.9
Kalikan 0 dengan 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Langkah 3.2.2
Menjumlahkan sebarang matriks ke matriks nol hasilnya adalah matriks itu sendiri.
Langkah 3.2.2.1
Tambahkan elemen yang seletak.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2
Sederhanakan setiap elemen.
Langkah 3.2.2.2.1
Tambahkan 3 dan 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.2
Tambahkan 5 dan 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.3
Tambahkan 0 dan 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.4
Tambahkan 7 dan 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.5
Tambahkan 5 dan 0.
[350750+01+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.6
Tambahkan 0 dan 0.
[3507501+01+00+0]
Langkah 3.2.2.2.7
Tambahkan 1 dan 0.
[35075011+00+0]
Langkah 3.2.2.2.8
Tambahkan 1 dan 0.
[350750110+0]
Langkah 3.2.2.2.9
Tambahkan 0 dan 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Langkah 3.3
Temukan ruang nol ketika λ=0.
Langkah 3.3.1
Tulis sebagai matriks imbuhan untuk Ax=0.
[350075001100]
Langkah 3.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Langkah 3.3.2.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan 13 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
Langkah 3.3.2.1.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan 13 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
[3353030375001100]
Langkah 3.3.2.1.2
Sederhanakan R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Langkah 3.3.2.2
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
Langkah 3.3.2.2.1
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Langkah 3.3.2.2.2
Sederhanakan R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Langkah 3.3.2.3
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
Langkah 3.3.2.3.1
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Langkah 3.3.2.3.2
Sederhanakan R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Langkah 3.3.2.4
Kalikan setiap elemen R2 dengan -320 untuk membuat entri pada 2,2 menjadi 1.
Langkah 3.3.2.4.1
Kalikan setiap elemen R2 dengan -320 untuk membuat entri pada 2,2 menjadi 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Langkah 3.3.2.4.2
Sederhanakan R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Langkah 3.3.2.5
Lakukan operasi baris R3=R3+23R2 untuk membuat entri di 3,2 menjadi 0.
Langkah 3.3.2.5.1
Lakukan operasi baris R3=R3+23R2 untuk membuat entri di 3,2 menjadi 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Langkah 3.3.2.5.2
Sederhanakan R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Langkah 3.3.2.6
Lakukan operasi baris R1=R1-53R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
Langkah 3.3.2.6.1
Lakukan operasi baris R1=R1-53R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Langkah 3.3.2.6.2
Sederhanakan R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Langkah 3.3.3
Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.
x=0
y=0
0=0
Langkah 3.3.4
Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.
[xyz]=[00z]
Langkah 3.3.5
Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.
[xyz]=z[001]
Langkah 3.3.6
Tulis sebagai himpunan penyelesaian.
{z[001]|z∈R}
Langkah 3.3.7
Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Langkah 4
Langkah 4.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
N([350750110]-10[100010001])
Langkah 4.2
Sederhanakan.
Langkah 4.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 4.2.1.1
Kalikan -10 dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Langkah 4.2.1.2.1
Kalikan -10 dengan 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.2
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.3
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.4
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.5
Kalikan -10 dengan 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.6
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.7
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.8
Kalikan -10 dengan 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Langkah 4.2.1.2.9
Kalikan -10 dengan 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Langkah 4.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3
Sederhanakan setiap elemen.
Langkah 4.2.3.1
Kurangi 10 dengan 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3.2
Tambahkan 5 dan 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3.3
Tambahkan 0 dan 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3.4
Tambahkan 7 dan 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3.5
Kurangi 10 dengan 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Langkah 4.2.3.6
Tambahkan 0 dan 0.
[-7507-501+01+00-10]
Langkah 4.2.3.7
Tambahkan 1 dan 0.
[-7507-5011+00-10]
Langkah 4.2.3.8
Tambahkan 1 dan 0.
[-7507-50110-10]
Langkah 4.2.3.9
Kurangi 10 dengan 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Langkah 4.3
Temukan ruang nol ketika λ=10.
Langkah 4.3.1
Tulis sebagai matriks imbuhan untuk Ax=0.
[-75007-50011-100]
Langkah 4.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Langkah 4.3.2.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan -17 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
Langkah 4.3.2.1.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan -17 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Langkah 4.3.2.1.2
Sederhanakan R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Langkah 4.3.2.2
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
Langkah 4.3.2.2.1
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Langkah 4.3.2.2.2
Sederhanakan R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Langkah 4.3.2.3
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
Langkah 4.3.2.3.1
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Langkah 4.3.2.3.2
Sederhanakan R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Langkah 4.3.2.4
Tukar R3 dengan R2 untuk meletakkan entri bukan nol di 2,2.
[1-57000127-1000000]
Langkah 4.3.2.5
Kalikan setiap elemen R2 dengan 712 untuk membuat entri pada 2,2 menjadi 1.
Langkah 4.3.2.5.1
Kalikan setiap elemen R2 dengan 712 untuk membuat entri pada 2,2 menjadi 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Langkah 4.3.2.5.2
Sederhanakan R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Langkah 4.3.2.6
Lakukan operasi baris R1=R1+57R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
Langkah 4.3.2.6.1
Lakukan operasi baris R1=R1+57R2 untuk membuat entri di 1,2 menjadi 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Langkah 4.3.2.6.2
Sederhanakan R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Langkah 4.3.3
Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Langkah 4.3.4
Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.
[xyz]=[25z635z6z]
Langkah 4.3.5
Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.
[xyz]=z[2563561]
Langkah 4.3.6
Tulis sebagai himpunan penyelesaian.
{z[2563561]|z∈R}
Langkah 4.3.7
Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Langkah 5
Langkah 5.1
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.
N([350750110]+2[100010001])
Langkah 5.2
Sederhanakan.
Langkah 5.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Langkah 5.2.1.1
Kalikan 2 dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2
Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.
Langkah 5.2.1.2.1
Kalikan 2 dengan 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.2
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.3
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.4
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.5
Kalikan 2 dengan 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.6
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.7
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Langkah 5.2.1.2.8
Kalikan 2 dengan 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Langkah 5.2.1.2.9
Kalikan 2 dengan 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Langkah 5.2.2
Tambahkan elemen yang seletak.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3
Sederhanakan setiap elemen.
Langkah 5.2.3.1
Tambahkan 3 dan 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3.2
Tambahkan 5 dan 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3.3
Tambahkan 0 dan 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3.4
Tambahkan 7 dan 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3.5
Tambahkan 5 dan 2.
[550770+01+01+00+2]
Langkah 5.2.3.6
Tambahkan 0 dan 0.
[5507701+01+00+2]
Langkah 5.2.3.7
Tambahkan 1 dan 0.
[55077011+00+2]
Langkah 5.2.3.8
Tambahkan 1 dan 0.
[550770110+2]
Langkah 5.2.3.9
Tambahkan 0 dan 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Langkah 5.3
Temukan ruang nol ketika λ=-2.
Langkah 5.3.1
Tulis sebagai matriks imbuhan untuk Ax=0.
[550077001120]
Langkah 5.3.2
Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.
Langkah 5.3.2.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan 15 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
Langkah 5.3.2.1.1
Kalikan setiap elemen R1 dengan 15 untuk membuat entri pada 1,1 menjadi 1.
[5555050577001120]
Langkah 5.3.2.1.2
Sederhanakan R1.
[110077001120]
[110077001120]
Langkah 5.3.2.2
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
Langkah 5.3.2.2.1
Lakukan operasi baris R2=R2-7R1 untuk membuat entri di 2,1 menjadi 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Langkah 5.3.2.2.2
Sederhanakan R2.
[110000001120]
[110000001120]
Langkah 5.3.2.3
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
Langkah 5.3.2.3.1
Lakukan operasi baris R3=R3-R1 untuk membuat entri di 3,1 menjadi 0.
[110000001-11-12-00-0]
Langkah 5.3.2.3.2
Sederhanakan R3.
[110000000020]
[110000000020]
Langkah 5.3.2.4
Tukar R3 dengan R2 untuk meletakkan entri bukan nol di 2,3.
[110000200000]
Langkah 5.3.2.5
Kalikan setiap elemen R2 dengan 12 untuk membuat entri pada 2,3 menjadi 1.
Langkah 5.3.2.5.1
Kalikan setiap elemen R2 dengan 12 untuk membuat entri pada 2,3 menjadi 1.
[1100020222020000]
Langkah 5.3.2.5.2
Sederhanakan R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Langkah 5.3.3
Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.
x+y=0
z=0
0=0
Langkah 5.3.4
Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.
[xyz]=[-yy0]
Langkah 5.3.5
Tulis penyelesaian sebagai gabungan linear vektor.
[xyz]=y[-110]
Langkah 5.3.6
Tulis sebagai himpunan penyelesaian.
{y[-110]|y∈R}
Langkah 5.3.7
Penyelesaiannya adalah himpunan vektor yang dibuat dari variabel bebas sistem.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Langkah 6
Ruang eigen A adalah daftar ruang vektor untuk setiap nilai eigen.
{[001],[2563561],[-110]}
