Aljabar Contoh

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(4, 0)

$(4, 0)$ ,

(6, 0)

$(6, 0)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk elips.

Persamaan elips datar

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan elips tegak

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

a

$a$ merupakan jarak antara verteks

(6, 0)

$(6, 0)$ dan titik pusat

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi

0

$0$ dengan

6

$6$ .

a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan

6

$6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi

0

$0$ dengan

0

$0$ .

a = \sqrt{36 + 0^{2}}

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

a = \sqrt{36 + 0}

$a = \sqrt{36 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan

36

$36$ dan

0

$0$ .

a = \sqrt{36}

$a = \sqrt{36}$

Langkah 2.3.6

Tulis kembali

36

$36$ sebagai

6^{2}

$6^{2}$ .

a = \sqrt{6^{2}}

$a = \sqrt{6^{2}}$

Langkah 2.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

a = 6

$a = 6$

a = 6

$a = 6$

a = 6

$a = 6$

Langkah 3

c

$c$ merupakan jarak antara fokus

(4, 0)

$(4, 0)$ dan pusat

(0, 0)

$(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi

0

$0$ dengan

4

$4$ .

c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan

4

$4$ menjadi pangkat

2

$2$ .

c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}

$c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi

0

$0$ dengan

0

$0$ .

c = \sqrt{16 + 0^{2}}

$c = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

c = \sqrt{16 + 0}

$c = \sqrt{16 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan

16

$16$ dan

0

$0$ .

c = \sqrt{16}

$c = \sqrt{16}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali

16

$16$ sebagai

4^{2}

$4^{2}$ .

c = \sqrt{4^{2}}

$c = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

c = 4

$c = 4$

c = 4

$c = 4$

c = 4

$c = 4$

Langkah 4

Menggunakan persamaan

c^{2} = a^{2} - b^{2}

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Substitusikan

6

$6$ untuk

a

$a$ dan

4

$4$ untuk

c

$c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

{(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$ .

{(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$

Langkah 4.2

Naikkan

6

$6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

36 - b^{2} = 4^{2}

$36 - b^{2} = 4^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan

4

$4$ menjadi pangkat

2

$2$ .

36 - b^{2} = 16

$36 - b^{2} = 16$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

b

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan

36

$36$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

- b^{2} = 16 - 36

$- b^{2} = 16 - 36$

Langkah 4.4.2

Kurangi

36

$36$ dengan

16

$16$ .

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$

Langkah 4.5

Bagi setiap suku pada

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$ dengan

- 1

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Bagilah setiap suku di

- b^{2} = - 20

$- b^{2} = - 20$ dengan

- 1

$- 1$ .

\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2

Bagilah

b^{2}

$b^{2}$ dengan

1

$1$ .

b^{2} = \frac{- 20}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

b^{2} = \frac{- 20}{- 1}

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Bagilah

- 20

$- 20$ dengan

- 1

$- 1$ .

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

b^{2} = 20

$b^{2} = 20$

Langkah 4.6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

b = \pm \sqrt{20}

$b = \pm \sqrt{20}$

Langkah 4.7

Sederhanakan

\pm \sqrt{20}

$\pm \sqrt{20}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Tulis kembali

20

$20$ sebagai

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Faktorkan

4

$4$ dari

20

$20$ .

b = \pm \sqrt{4 (5)}

$b = \pm \sqrt{4 (5)}$

Langkah 4.7.1.2

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 4.7.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

b = \pm 2 \sqrt{5}

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

b = \pm 2 \sqrt{5}

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

b = - 2 \sqrt{5}

$b = - 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

Langkah 5

b

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara fokus

(4, 0)

$(4, 0)$ dan pusat

(0, 0)

$(0, 0)$ menentukan apakah elipsnya tegak atau datar. Jika gradien

0

$0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada

y

$y$ per perubahan pada

x

$x$ , atau naik per geser.

m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada

x

$x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada

y

$y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari

x

$x$ dan

y

$y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}

$m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}

$m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}$

Langkah 6.4.1.2

Tambahkan

0

$0$ dan

0

$0$ .

m = \frac{0}{0 - (4)}

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

m = \frac{0}{0 - (4)}

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

4

$4$ .

m = \frac{0}{0 - 4}

$m = \frac{0}{0 - 4}$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi

4

$4$ dengan

0

$0$ .

m = \frac{0}{- 4}

$m = \frac{0}{- 4}$

m = \frac{0}{- 4}

$m = \frac{0}{- 4}$

Langkah 6.4.3

Bagilah

0

$0$ dengan

- 4

$- 4$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk elips datar adalah

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai

h = 0

$h = 0$ ,

k = 0

$k = 0$ ,

a = 6

$a = 6$ , dan

b = 2 \sqrt{5}

$b = 2 \sqrt{5}$ ke dalam

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan elips

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.1.2

Tambahkan

x

$x$ dan

0

$0$ .

\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Naikkan

6

$6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y + 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3.2

Tambahkan

$y$ dan

$0$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$2 \sqrt{5}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.2

Naikkan

$2$ menjadi pangkat

$2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.3

Tulis kembali

${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{5}$ sebagai

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.4.3.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Langkah 8.4.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Langkah 8.5

Kalikan

$4$ dengan

$5$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Langkah 9

Masukkan Soal