Aljabar Contoh

$(0, 0)$ , $(4, 0)$ , $(6, 0)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk elips.

Persamaan elips datar $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan elips tegak $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

$a$ merupakan jarak antara verteks $(6, 0)$ dan titik pusat $(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi $0$ dengan $6$ .

$a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$a = \sqrt{36 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $36$ dan $0$ .

$a = \sqrt{36}$

Langkah 2.3.6

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Langkah 2.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$a = 6$

Langkah 3

$c$ merupakan jarak antara fokus $(4, 0)$ dan pusat $(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

$c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi $0$ dengan $4$ .

$c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$c = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$c = \sqrt{16 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$c = \sqrt{16}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$c = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$c = 4$

Langkah 4

Menggunakan persamaan $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Substitusikan $6$ untuk $a$ dan $4$ untuk $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$ .

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$

Langkah 4.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$36 - b^{2} = 4^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$36 - b^{2} = 16$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan $36$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- b^{2} = 16 - 36$

Langkah 4.4.2

Kurangi $36$ dengan $16$ .

$- b^{2} = - 20$

Langkah 4.5

Bagi setiap suku pada $- b^{2} = - 20$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Bagilah setiap suku di $- b^{2} = - 20$ dengan $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2

Bagilah $b^{2}$ dengan $1$ .

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Bagilah $- 20$ dengan $- 1$ .

$b^{2} = 20$

Langkah 4.6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$b = \pm \sqrt{20}$

Langkah 4.7

Sederhanakan $\pm \sqrt{20}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$b = \pm \sqrt{4 (5)}$

Langkah 4.7.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 4.7.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$b = 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$b = - 2 \sqrt{5}$

Langkah 4.8.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

Langkah 5

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

$b = 2 \sqrt{5}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara fokus $(4, 0)$ dan pusat $(0, 0)$ menentukan apakah elipsnya tegak atau datar. Jika gradien $0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada $y$ per perubahan pada $x$ , atau naik per geser.

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada $x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada $y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari $x$ dan $y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

$m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}$

Langkah 6.4.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$m = \frac{0}{0 - 4}$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$m = \frac{0}{- 4}$

Langkah 6.4.3

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk elips datar adalah $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai $h = 0$ , $k = 0$ , $a = 6$ , dan $b = 2 \sqrt{5}$ ke dalam $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan elips $\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.1.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y + 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.3

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.4.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Langkah 8.4.3.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

Langkah 8.5

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

Langkah 9

Masukkan Soal