Aljabar Contoh

(5, - 3)

$(5, - 3)$ ,

(4, - 3)

$(4, - 3)$ ,

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk hiperbola.

Persamaan hiperbola datar

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan hiperbola tegak

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

a

$a$ merupakan jarak antara verteks

(4, - 3)

$(4, - 3)$ dan titik pusat

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi

5

$5$ dengan

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan

- 1

$- 1$ menjadi pangkat

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 3

$- 3$ .

a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Tambahkan

- 3

$- 3$ dan

3

$3$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.5

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Langkah 2.3.6

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Langkah 2.3.7

Sebarang akar dari

1

$1$ adalah

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Langkah 3

c

$c$ merupakan jarak antara fokus

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ dan pusat

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi

5

$5$ dengan

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan

- 10

$- 10$ menjadi pangkat

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 3

$- 3$ .

c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan

- 3

$- 3$ dan

3

$3$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.5

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Langkah 3.3.6

Tambahkan

100

$100$ dan

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Langkah 3.3.7

Tulis kembali

100

$100$ sebagai

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Langkah 3.3.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Langkah 4

Menggunakan persamaan

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Substitusikan

1

$1$ untuk

a

$a$ dan

10

$10$ untuk

c

$c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan

10

$10$ menjadi pangkat

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

b

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan

1

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Langkah 4.4.2

Kurangi

1

$1$ dengan

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Langkah 4.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Langkah 4.6

Sederhanakan

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali

99

$99$ sebagai

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Faktorkan

9

$9$ dari

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Langkah 4.6.1.2

Tulis kembali

9

$9$ sebagai

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Langkah 4.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Langkah 4.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Langkah 5

b

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara titik fokus

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ dan pusat

(5, - 3)

$(5, - 3)$ menentukan apakah hiperbolanya tegak atau datar. Jika gradiennya adalah

0

$0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada

y

$y$ per perubahan pada

x

$x$ , atau naik per geser.

m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada

x

$x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada

y

$y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari

x

$x$ dan

y

$y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 3

$- 3$ .

m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.1.2

Tambahkan

- 3

$- 3$ dan

3

$3$ .

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 5

$- 5$ .

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Langkah 6.4.2.2

Tambahkan

5

$5$ dan

5

$5$ .

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

Langkah 6.4.3

Bagilah

0

$0$ dengan

10

$10$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk hiperbola datar adalah

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai

h = 5

$h = 5$ ,

k = - 3

$k = - 3$ ,

a = 1

$a = 1$ , dan

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ ke dalam

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan hiperbola

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

5

$5$ .

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Bagilah

{(x - 5)}^{2}

${(x - 5)}^{2}$ dengan

1

$1$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 3

$- 3$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

3 \sqrt{11}

$3 \sqrt{11}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.2

Naikkan

3

$3$ menjadi pangkat

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3

Tulis kembali

{\sqrt{11}}^{2}

${\sqrt{11}}^{2}$ sebagai

11

$11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{11}

$\sqrt{11}$ sebagai

11^{\frac{1}{2}}

$11^{\frac{1}{2}}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.5.3.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.5.3.5

Evaluasi eksponennya.

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Langkah 8.6

Kalikan

9

$9$ dengan

11

$11$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Langkah 9

Masukkan Soal