Aljabar Contoh

(1, 2, - 3)

$(1, 2, - 3)$ ,

(3, 5, - 3)

$(3, 5, - 3)$ ,

(1, - 1, 1)

$(1, - 1, 1)$ ,

(- 2, - 2, - 2)

$(- 2, - 2, - 2)$

Langkah 1

Jika diketahui titik

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$ dan

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$ , tentukan bidang datar yang mengandung titik

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$ dan

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$ yang sejajar dengan garis

CD

$CD$ .

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Langkah 2

Pertama, hitung arah vektor dari garis melalui titik

C

$C$ dan

D

$D$ . Ini dapat dilakukan dengan mengambil nilai koordinat titik

C

$C$ dan menguranginya dengan titik

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Langkah 3

Ganti nilai

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ , kemudian sederhanakan untuk memperoleh vektor arah

V_{CD}

$V_{CD}$ untuk garis

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Langkah 4

Hitung vektor arah dari sebuah garis melalui titik

A

$A$ dan

B

$B$ menggunakan metode yang sama.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Langkah 5

Ganti nilai

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ , kemudian sederhanakan untuk memperoleh vektor arah

V_{AB}

$V_{AB}$ untuk garis

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Langkah 6

Bidang penyelesaiannya akan memuat garis yang mengandung titik-titik

A

$A$ dan

B

$B$ , serta dengan vektor arah

V_{A B}

$V_{A B}$ . Agar bidang ini sejajar dengan garis

C D

$C D$ , temukan vektor normal pada bidang yang juga ortogonal ke vektor arah garis

C D

$C D$ . Hitung vektor normalnya dengan menghitung hasil kali silang

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ dengan menentukan determinan matriks

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 2 & 3 & 0 - 3 & - 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Langkah 7

Hitung determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pilih baris atau kolom dengan elemen

0

$0$ paling banyak. Jika tidak ada elemen

0

$0$ , pilih sebarang baris atau kolom. Kalikan setiap elemen di baris

1

$1$ dengan kofaktornya dan tambahkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 7.1.2

Kofaktornya minor dengan tanda yang diubah jika indeksnya cocok dengan posisi

-

$-$ di grafik tanda.

Langkah 7.1.3

Minor untuk

a_{11}

$a_{11}$ adalah determinan dengan baris

1

$1$ dan kolom

1

$1$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Langkah 7.1.4

Kalikan elemen

a_{11}

$a_{11}$ dengan kofaktornya.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Langkah 7.1.5

Minor untuk

a_{12}

$a_{12}$ adalah determinan dengan baris

1

$1$ dan kolom

2

$2$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Langkah 7.1.6

Kalikan elemen

a_{12}

$a_{12}$ dengan kofaktornya.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Langkah 7.1.7

Minor untuk

a_{13}

$a_{13}$ adalah determinan dengan baris

1

$1$ dan kolom

3

$3$ dihapus.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Langkah 7.1.8

Kalikan elemen

a_{13}

$a_{13}$ dengan kofaktornya.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.1.9

Tambahkan semua sukunya.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.2

Evaluasi

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (3 \cdot - 3 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Kalikan

3

$3$ dengan

- 3

$- 3$ .

i (- 9 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.2.2.1.2

Kalikan

- - 0

$- - 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

i (- 9 - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan

- 9

$- 9$ dan

0

$0$ .

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.3

Evaluasi

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Kalikan

2

$2$ dengan

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.3.2.1.2

Kalikan

- (- 3 \cdot 0)

$- (- 3 \cdot 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.2.1

Kalikan

- 3

$- 3$ dengan

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.3.2.1.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan

- 6

$- 6$ dan

0

$0$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Langkah 7.4

Evaluasi

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Langkah 7.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.1

Kalikan

2

$2$ dengan

- 1

$- 1$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Langkah 7.4.2.1.2

Kalikan

- (- 3 \cdot 3)

$- (- 3 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.2.1

Kalikan

- 3

$- 3$ dengan

3

$3$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Langkah 7.4.2.1.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 9

$- 9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Langkah 7.4.2.2

Tambahkan

- 2

$- 2$ dan

9

$9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Langkah 7.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan

- 9

$- 9$ ke sebelah kiri

i

$i$ .

- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Langkah 7.5.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 6

$- 6$ .

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Langkah 8

Selesaikan pernyataan

(- 9) x + (6) y + (7) z

$(- 9) x + (6) y + (7) z$ pada titik

A

$A$ karena berada pada bidang datar. Ini digunakan untuk menghitung konstanta dalam persamaan untuk bidang datar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan

- 9

$- 9$ dengan

$1$ .

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Langkah 8.1.2

Kalikan

$6$ dengan

$2$ .

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Langkah 8.1.3

Kalikan

$7$ dengan

$- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Langkah 8.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan

$- 9$ dan

$12$ .

$3 - 21$

Langkah 8.2.2

Kurangi

$21$ dengan

$3$ .

$- 18$

Langkah 9

Tambahkan konstanta untuk mencari persamaan bidang datar agar menjadi

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Langkah 10

Kalikan

$7$ dengan

$z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

Masukkan Soal