Aljabar Contoh

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ ,

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$

Langkah 1

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik

(p, q, r)

$(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ dan bidang

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan

t

$t$ .

4. Menggunakan nilai dari

t

$t$ , selesaikan persamaan parametrik

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ untuk

t

$t$ untuk menentukan perpotongan

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Langkah 2

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

(Variabel0) adalah

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ . Cari vektor normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Langkah 2.2

(Variabel0) adalah

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ . Cari vektor normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 6, - 2, 0 ⟩$

Langkah 2.3

Hitung hasil perkalian titik dari

n_{1}

$n_{1}$ dan

n_{2}

$n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ yang sesuai dalam vektor normal.

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$4 \cdot 6 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan

4

$4$ dengan

6

$6$ .

24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0

$24 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 2

$- 2$ .

24 + 2 + 0 \cdot 0

$24 + 2 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan

0

$0$ dengan

0

$0$ .

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

24 + 2 + 0

$24 + 2 + 0$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Tambahkan

24

$24$ dan

2

$2$ .

26 + 0

$26 + 0$

Langkah 2.4.3.2

Tambahkan

26

$26$ dan

0

$0$ .

26

$26$

26

$26$

26

$26$

26

$26$

Langkah 3

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ menggunakan titik asal

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ untuk titik

(p, q, r)

$(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal

26

$26$ untuk nilai-nilai

a

$a$ ,

b

$b$ , dan

c

$c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan

P_{1}

$P_{1}$

4 x - y = 2

$4 x - y = 2$ .

x = 0 + 4 \cdot t

$x = 0 + 4 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 4

Substitusikan pernyataan untuk

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ ke dalam persamaan untuk

P_{2}

$P_{2}$

6 x - 2 y = - 1

$6 x - 2 y = - 1$ .

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk

t

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan suku balikan dalam

6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)

$6 (0 + 4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tambahkan

0

$0$ dan

4 \cdot t

$4 \cdot t$ .

6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 1$

Langkah 5.1.1.2

Kurangi

1 \cdot t

$1 \cdot t$ dengan

0

$0$ .

6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$6 (4 \cdot t) - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Kalikan

4

$4$ dengan

6

$6$ .

24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1

$24 t - 2 (- 1 \cdot t) = - 1$

Langkah 5.1.2.2

Tulis kembali

- 1 t

$- 1 t$ sebagai

- t

$- t$ .

24 t - 2 (- t) = - 1

$24 t - 2 (- t) = - 1$

Langkah 5.1.2.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 2

$- 2$ .

24 t + 2 t = - 1

$24 t + 2 t = - 1$

24 t + 2 t = - 1

$24 t + 2 t = - 1$

Langkah 5.1.3

Tambahkan

24 t

$24 t$ dan

2 t

$2 t$ .

26 t = - 1

$26 t = - 1$

26 t = - 1

$26 t = - 1$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada

26 t = - 1

$26 t = - 1$ dengan

26

$26$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di

26 t = - 1

$26 t = - 1$ dengan

26

$26$ .

\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

26

$26$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{26 t}{26} = \frac{- 1}{26}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah

$t$ dengan

$1$ .

$t = \frac{- 1}{26}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{1}{26}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan parametrik untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ menggunakan nilai dari

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Selesaikan persamaan untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Langkah 6.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan

$0 + 4 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{1}{26}$ ke dalam pembilangnya.

$x = 0 + 4 \cdot \frac{- 1}{26}$

Langkah 6.1.3.1.1.2

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$x = 0 + 2 (2) \cdot \frac{- 1}{26}$

Langkah 6.1.3.1.1.3

Faktorkan

$2$ dari

$26$ .

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Langkah 6.1.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 0 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 13}$

Langkah 6.1.3.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 0 + 2 \cdot \frac{- 1}{13}$

Langkah 6.1.3.1.2

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{- 1}{13}$ .

$x = 0 + \frac{2 \cdot - 1}{13}$

Langkah 6.1.3.1.3

Kalikan

$2$ dengan

$- 1$ .

$x = 0 + \frac{- 2}{13}$

Langkah 6.1.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = 0 - \frac{2}{13}$

Langkah 6.1.3.2

Kurangi

$\frac{2}{13}$ dengan

$0$ .

$x = - \frac{2}{13}$

Langkah 6.2

Selesaikan persamaan untuk

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Langkah 6.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan

$0 - 1 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan

$- 1 (- \frac{1}{26})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{1}{26})$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan

$\frac{1}{26}$ dengan

$1$ .

$y = 0 + \frac{1}{26}$

Langkah 6.2.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{1}{26}$ .

$y = \frac{1}{26}$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk

$z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{1}{26}))$

Langkah 6.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan

$0 + 0 \cdot (- \frac{1}{26})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan

$0 (- \frac{1}{26})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{1}{26})$

Langkah 6.3.3.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{1}{26}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 6.3.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$z = 0$

Langkah 6.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ .

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

$x = - \frac{2}{13}$

$y = \frac{1}{26}$

$z = 0$

Langkah 7

Menggunakan nilai yang dihitung untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$ .

$(- \frac{2}{13}, \frac{1}{26}, 0)$

Masukkan Soal