Contoh

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) ((7 - λ) (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Perluas $(7 - λ) (7 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 (7 - λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.1

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.2.2

Kurangi $7 λ$ dengan $- 7 λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $4$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.2

Kurangi $64$ dengan $49$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.2.2.3

Susun kembali $- 14 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 (7 - λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 \cdot 7 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3.2.1.4

Kalikan $- 24$ dengan $4$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.3.2.2

Kurangi $96$ dengan $84$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (12 \cdot 16 - 24 (7 - λ))$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Kalikan $12$ dengan $16$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 (7 - λ))$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 \cdot 7 - 24 (- λ))$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $7$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 - 24 (- λ))$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 24$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $168$ dengan $192$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 + 24 λ)$

Langkah 1.5.4.2.3

Susun kembali $24$ dan $24 λ$ .

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.1

Perluas $(- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 13 (- 14 λ) - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.2.1

Kalikan $- 14$ dengan $- 13$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.2

Kalikan $- 13$ dengan $- 15$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 14$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.2.7

Kalikan $- 15$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.3

Tambahkan $- 13 λ^{2}$ dan $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.4

Tambahkan $182 λ$ dan $15 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ) + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.6

Kalikan $- 12$ dengan $8$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.7

Kalikan $8$ dengan $- 12$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ + 24)$

Langkah 1.5.5.1.8

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ) - 4 \cdot 24$

Langkah 1.5.5.1.9

Kalikan $24$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 4 \cdot 24$

Langkah 1.5.5.1.10

Kalikan $- 4$ dengan $24$ .

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96$

Langkah 1.5.5.2

Kurangi $96 λ$ dengan $197 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 101 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96 λ - 96$

Langkah 1.5.5.3

Kurangi $96 λ$ dengan $101 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96$

Langkah 1.5.5.4

Kurangi $96$ dengan $195$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 99 - 96$

Langkah 1.5.5.5

Kurangi $96$ dengan $99$ .

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 3$

Langkah 1.5.5.6

Pindahkan $5 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 5 λ + 3$

Langkah 1.5.5.7

Susun kembali $λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Langkah 1.7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Langkah 1.7.1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- - 1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 1 + 5 \cdot - 1 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 + 5 \cdot - 1 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$2 - 5 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.7

Kurangi $5$ dengan $2$ .

$- 3 + 3$

Langkah 1.7.1.1.3.8

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$0$

Langkah 1.7.1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3}{λ + 1}$

Langkah 1.7.1.1.5

Bagilah $- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ dengan $λ + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$λ^{2}$

$5 λ$

$3$

Langkah 1.7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$

Langkah 1.7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- λ^{3} - λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$

Langkah 1.7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$2 λ^{2}$	+	$2 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 λ^{2} + 2 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$

Langkah 1.7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

Langkah 1.7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

Langkah 1.7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							+	$3 λ$	+	$3$

Langkah 1.7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 λ + 3$

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$

Langkah 1.7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$
										$0$

Langkah 1.7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- λ^{2} + 2 λ + 3$

Langkah 1.7.1.1.6

Tulis $- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ sebagai himpunan faktor.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 λ$ .

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 (λ) + 3) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1$ ditambah $3$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (- 1 + 3) λ + 3) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(λ + 1) ((- λ^{2} - 1 λ) + 3 λ + 3) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- λ - 1$ .

$(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ + 1 = 0$

$- λ - 1 = 0$

$λ - 3 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ + 1$ sama dengan $0$ .

$λ + 1 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$λ = - 1$

Langkah 1.7.4

Atur $λ - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ - 3$ sama dengan $0$ .

$λ - 3 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 3$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$ benar.

$λ = - 1, 3$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 13 + 1 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $- 13$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.3

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.5

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.6

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.7

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.8

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 7 + 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.9

Tambahkan $7$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot - 8 & - \frac{1}{12} \cdot - 4 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 8 - 12 (\frac{2}{3}) & 4 - 12 (\frac{1}{3}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{2}{3}) & 8 - 24 (\frac{1}{3}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} - \frac{z}{3} \\ y \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 13 - 3 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $3$ dengan $- 13$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $- 8$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Kurangi $3$ dengan $7$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 7 - 3 \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Kurangi $3$ dengan $7$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 4 - 12 (\frac{1}{2}) & 4 - 12 (\frac{1}{4}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{1}{2}) & 4 - 24 (\frac{1}{4}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Masukkan Soal