Contoh

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b + c a + b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

Langkah 1

Kernel dari transformasi adalah vektor yang membuat transformasinya sama dengan vektor nol (prabayangan dari transformasi).

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b + c a + b + 5 c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

Langkah 2

Buat sistem persamaan dari persamaan vektor.

a - b - c = 0

$a - b - c = 0$

a - b + c = 0

$a - b + c = 0$

a + b + 5 c = 0

$a + b + 5 c = 0$

Langkah 3

Tulis sistem sebagai matriks.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 1 & - 1 & 1 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Lakukan operasi baris

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ untuk membuat entri di

2, 1

$2, 1$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 & 1 & 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.2

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di

3, 1

$3, 1$ menjadi

0

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Lakukan operasi baris

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ untuk membuat entri di

3, 1

$3, 1$ menjadi

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3

Tukar

R_{3}

$R_{3}$ dengan

R_{2}

$R_{2}$ untuk meletakkan entri bukan nol di

2, 2

$2, 2$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 0 & 2 & 6 & 0 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.4

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan setiap elemen

R_{2}

$R_{2}$ dengan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

2, 2

$2, 2$ menjadi

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 0 \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} 0 & 0 & 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.5

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan setiap elemen

$R_{3}$ dengan

$\frac{1}{2}$ untuk membuat entri pada

$3, 3$ menjadi

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.6

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Lakukan operasi baris

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ untuk membuat entri di

$2, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.7

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ untuk membuat entri di

$1, 3$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.8

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Lakukan operasi baris

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ untuk membuat entri di

$1, 2$ menjadi

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.8.2

Sederhanakan

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 5

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir sistem persamaan tersebut.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Langkah 6

Tulis vektor penyelesaian dengan menyelesaikan dalam suku dari variabel bebas dalam setiap baris.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Langkah 7

Tulis sebagai himpunan penyelesaian.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Langkah 8

Kernel dari

$S$ adalah subruang

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Masukkan Soal