Contoh

[\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

[\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 1 & 2 3 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

$3$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Perluas

$(1 - λ) (5 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.1

Kalikan

$5$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.2

Kalikan

$- λ$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.3

Kalikan

$5$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.5.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.6

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.1.7

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.2.2

Kurangi

$5 λ$ dengan

$- λ$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan

$- 3$ dengan

$2$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

Langkah 5.2.2

Kurangi

$6$ dengan

$5$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

Langkah 5.2.3

Susun kembali

$- 6 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

$a = 1$ ,

$b = - 6$ , dan

$c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$λ$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan

$- 6$ menjadi pangkat

$2$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$- 1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Tambahkan

$36$ dan

$4$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali

$40$ sebagai

$2^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.1

Faktorkan

$4$ dari

$40$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.2

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Bentuk Desimal:

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

Masukkan Soal