Contoh

(2, 3)

$(2, 3)$ ,

(1, 3)

$(1, 3)$ ,

(- 4, 3)

$(- 4, 3)$

Langkah 1

Terdapat dua persamaan umum untuk hiperbola.

Persamaan hiperbola datar

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Persamaan hiperbola tegak

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 2

a

$a$ merupakan jarak antara verteks

(1, 3)

$(1, 3)$ dan titik pusat

(2, 3)

$(2, 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}

$a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangi

2

$2$ dengan

1

$1$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Naikkan

- 1

$- 1$ menjadi pangkat

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Kurangi

3

$3$ dengan

3

$3$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Langkah 2.3.4

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Langkah 2.3.6

Sebarang akar dari

1

$1$ adalah

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Langkah 3

c

$c$ merupakan jarak antara fokus

(- 4, 3)

$(- 4, 3)$ dan pusat

(2, 3)

$(2, 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus jarak untuk menentukan jarak antara dua titik tersebut.

Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Jarak = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai aktual dari titik-titik ke dalam rumus jarak.

c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi

2

$2$ dengan

- 4

$- 4$ .

c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Naikkan

- 6

$- 6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}

$c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi

3

$3$ dengan

3

$3$ .

c = \sqrt{36 + 0^{2}}

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Langkah 3.3.4

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

c = \sqrt{36 + 0}

$c = \sqrt{36 + 0}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan

36

$36$ dan

0

$0$ .

c = \sqrt{36}

$c = \sqrt{36}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali

36

$36$ sebagai

6^{2}

$6^{2}$ .

c = \sqrt{6^{2}}

$c = \sqrt{6^{2}}$

Langkah 3.3.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

c = 6

$c = 6$

Langkah 4

Menggunakan persamaan

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Substitusikan

1

$1$ untuk

a

$a$ dan

6

$6$ untuk

c

$c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

{(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

Langkah 4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

1 + b^{2} = 6^{2}

$1 + b^{2} = 6^{2}$

Langkah 4.3

Naikkan

6

$6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

1 + b^{2} = 36

$1 + b^{2} = 36$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

b

$b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangkan

1

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

b^{2} = 36 - 1

$b^{2} = 36 - 1$

Langkah 4.4.2

Kurangi

1

$1$ dengan

36

$36$ .

b^{2} = 35

$b^{2} = 35$

b^{2} = 35

$b^{2} = 35$

Langkah 4.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

b = \pm \sqrt{35}

$b = \pm \sqrt{35}$

Langkah 4.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

b = \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}$

Langkah 4.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

\pm

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

b = - \sqrt{35}

$b = - \sqrt{35}$

Langkah 4.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

Langkah 5

b

$b$ adalah jarak, yang berarti harus merupakan bilangan positif.

b = \sqrt{35}

$b = \sqrt{35}$

Langkah 6

Gradien dari garis antara titik fokus

(- 4, 3)

$(- 4, 3)$ dan pusat

(2, 3)

$(2, 3)$ menentukan apakah hiperbolanya tegak atau datar. Jika gradiennya adalah

0

$0$ , grafiknya datar. Jika gradien tidak terdefinisi, grafiknya tegak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gradien sama dengan perubahan pada

y

$y$ per perubahan pada

x

$x$ , atau naik per geser.

m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}

$m = \frac{perubahan pada y}{perubahan pada x}$

Langkah 6.2

Perubahan pada

x

$x$ sama dengan beda pada koordinat x (juga disebut pergeseran), dan perubahan pada

y

$y$ sama dengan beda di koordinat y (juga disebut kenaikan).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Langkah 6.3

Substitusikan ke dalam nilai-nilai dari

x

$x$ dan

y

$y$ dalam persamaannya untuk menghitung gradien.

m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}

$m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

3

$3$ .

m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}

$m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi

3

$3$ dengan

3

$3$ .

m = \frac{0}{2 - (- 4)}

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

m = \frac{0}{2 - (- 4)}

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 4

$- 4$ .

m = \frac{0}{2 + 4}

$m = \frac{0}{2 + 4}$

Langkah 6.4.2.2

Tambahkan

2

$2$ dan

4

$4$ .

m = \frac{0}{6}

$m = \frac{0}{6}$

m = \frac{0}{6}

$m = \frac{0}{6}$

Langkah 6.4.3

Bagilah

0

$0$ dengan

6

$6$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Langkah 6.5

Persamaan umum untuk hiperbola datar adalah

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai

h = 2

$h = 2$ ,

$k = 3$ ,

$a = 1$ , dan

$b = \sqrt{35}$ ke dalam

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ untuk mendapatkan persamaan hiperbola

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Langkah 8

Sederhanakan untuk menentukan persamaan final dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Langkah 8.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Langkah 8.3

Bagilah

${(x - 2)}^{2}$ dengan

$1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Langkah 8.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Langkah 8.5

Tulis kembali

${\sqrt{35}}^{2}$ sebagai

$35$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{35}$ sebagai

$35^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Langkah 8.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Langkah 8.5.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Langkah 8.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Langkah 8.5.5

Evaluasi eksponennya.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Langkah 9

Masukkan Soal