Contoh

x - y = 4

$x - y = 4$ ,

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$

Langkah 1

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik

(p, q, r)

$(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ dan bidang

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan

t

$t$ .

4. Menggunakan nilai dari

t

$t$ , selesaikan persamaan parametrik

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ untuk

t

$t$ untuk menentukan perpotongan

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Langkah 2

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

(Variabel0) adalah

x - y = 4

$x - y = 4$ . Cari vektor normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Langkah 2.2

(Variabel0) adalah

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ . Cari vektor normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Langkah 2.3

Hitung hasil perkalian titik dari

n_{1}

$n_{1}$ dan

n_{2}

$n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ yang sesuai dalam vektor normal.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan

4

$4$ dengan

1

$1$ .

4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

4 + 1 + 0 \cdot 0

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan

0

$0$ dengan

0

$0$ .

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Tambahkan

4

$4$ dan

1

$1$ .

5 + 0

$5 + 0$

Langkah 2.4.3.2

Tambahkan

5

$5$ dan

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Langkah 3

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , dan

z = r + c t

$z = r + c t$ menggunakan titik asal

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ untuk titik

(p, q, r)

$(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal

5

$5$ untuk nilai-nilai

a

$a$ ,

b

$b$ , dan

c

$c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan

P_{1}

$P_{1}$

x - y = 4

$x - y = 4$ .

x = 0 + 1 \cdot t

$x = 0 + 1 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 4

Substitusikan pernyataan untuk

x

$x$ ,

y

$y$ , dan

z

$z$ ke dalam persamaan untuk

P_{2}

$P_{2}$

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ .

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk

t

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan suku balikan dalam

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tambahkan

0

$0$ dan

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Langkah 5.1.1.2

Kurangi

1 \cdot t

$1 \cdot t$ dengan

0

$0$ .

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Kalikan

t

$t$ dengan

1

$1$ .

4 t - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Langkah 5.1.2.2

Tulis kembali

- 1 t

$- 1 t$ sebagai

- t

$- t$ .

4 t - - t = - 5

$4 t - - t = - 5$

Langkah 5.1.2.3

Kalikan

- - t

$- - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

4 t + 1 t = - 5

$4 t + 1 t = - 5$

Langkah 5.1.2.3.2

Kalikan

t

$t$ dengan

1

$1$ .

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

Langkah 5.1.3

Tambahkan

4 t

$4 t$ dan

t

$t$ .

5 t = - 5

$5 t = - 5$

5 t = - 5

$5 t = - 5$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada

5 t = - 5

$5 t = - 5$ dengan

5

$5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di

5 t = - 5

$5 t = - 5$ dengan

5

$5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah

$t$ dengan

$1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah

$- 5$ dengan

$5$ .

$t = - 1$

Langkah 6

Selesaikan persamaan parametrik untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ menggunakan nilai dari

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Selesaikan persamaan untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan

$0 + 1 \cdot (- 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$x = 0 - 1$

Langkah 6.1.2.2

Kurangi

$1$ dengan

$0$ .

$x = - 1$

Langkah 6.2

Selesaikan persamaan untuk

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan

$0 - 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$y = 0 + 1$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$1$ .

$y = 1$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk

$z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan

$0 + 0 \cdot (- 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 6.3.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$z = 0$

Langkah 6.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Langkah 7

Menggunakan nilai yang dihitung untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu

$(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

Masukkan Soal