प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$f (x) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 6$

चरण 3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 8 - 6 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 6$

चरण 3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 8 - 6 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 6$

चरण 3.4

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$f (x) = 8 - 24 + 5 \cdot 2 + 6$

चरण 3.5

$8$ में से $24$ घटाएं.

$f (x) = - 16 + 5 \cdot 2 + 6$

चरण 3.6

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x) = - 16 + 10 + 6$

चरण 3.7

$- 16$ और $10$ जोड़ें.

$f (x) = - 6 + 6$

चरण 3.8

$- 6$ और $6$ जोड़ें.

$f (x) = 0$

चरण 4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$f (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6}{x - 2}$

चरण 5

$x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$f (x) =$

चरण 5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$f (x) =$

चरण 5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 5.7

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 8 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 5.10

$f (x) =$

चरण 5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 5.12

भाज्य $- 3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 5.15

$f (x) =$

चरण 5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 3$

चरण 6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$ लिखें.

$f (x) = (x - 2) (x^{2} - 4 x - 3)$