प्री-कैलकुलस उदाहरण

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y + 62 = 0$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $62$ घटाएं.

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$

चरण 1.2

$9 y^{2} + 54 y$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

चरण 1.2.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

चरण 1.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$54$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$54$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

चरण 1.2.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

चरण 1.2.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

चरण 1.2.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{27}{9}$

चरण 1.2.3.2.2

$27$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

चरण 1.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.2.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

चरण 1.2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

चरण 1.2.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{3}{1}$

चरण 1.2.3.2.2.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = 3$

चरण 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

चरण 1.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

$54$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

चरण 1.2.4.2.1.3

$2916$ को $36$ से विभाजित करें.

$e = 0 - 1 \cdot 81$

चरण 1.2.4.2.1.4

$- 1$ को $81$ से गुणा करें.

$e = 0 - 81$

चरण 1.2.4.2.2

$0$ में से $81$ घटाएं.

$e = - 81$

चरण 1.2.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ में प्रतिस्थापित करें.

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

चरण 1.3

समीकरण $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ में $9 y^{2} + 54 y$ के स्थान पर $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ को प्रतिस्थापित करें.

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 2 x = - 62$

चरण 1.4

दोनों पक्षों में $81$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $- 81$ ले जाएं.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 62 + 81$

चरण 1.5

$- x^{2} + 2 x$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

चरण 1.5.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{1}{- 1}$

चरण 1.5.3.2.1.3

ऋणात्मक को $\frac{1}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 1$

चरण 1.5.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$d = - 1$

चरण 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

चरण 1.5.4.2.1.3

$4$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 1$

चरण 1.5.4.2.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 + 1$

चरण 1.5.4.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$e = 1$

चरण 1.5.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - 1)}^{2} + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

चरण 1.6

समीकरण $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ में $- x^{2} + 2 x$ के स्थान पर $- {(x - 1)}^{2} + 1$ को प्रतिस्थापित करें.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 62 + 81$

चरण 1.7

दोनों पक्षों में $1$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $1$ ले जाएं.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 62 + 81 - 1$

चरण 1.8

$- 62 + 81 - 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$- 62$ और $81$ जोड़ें.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 19 - 1$

चरण 1.8.2

$19$ में से $1$ घटाएं.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 18$

चरण 1.9

प्रत्येक पद को $18$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

चरण 1.10

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 \sqrt{2}$

$k = - 3$

$h = 1$

चरण 4

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

चरण 5

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

चरण 5.2

$\frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

चरण 5.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

चरण 5.2.1.3

$\frac{1}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

चरण 5.2.1.4

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} - 3$

चरण 5.2.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3$

चरण 5.2.2

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 5.2.3

$- 3$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

चरण 5.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 3 \cdot 3}{3}$

चरण 5.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 9}{3}$

चरण 5.2.5.2

$- 1$ में से $9$ घटाएं.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 10}{3}$

चरण 5.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

चरण 6

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

चरण 6.2

$- \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

चरण 6.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

चरण 6.2.1.3

$x$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

चरण 6.2.1.4

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

चरण 6.2.1.4.2

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3$

चरण 6.2.2

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 6.2.3

$- 3$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

चरण 6.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 3 \cdot 3}{3}$

चरण 6.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 9}{3}$

चरण 6.2.5.2

$1$ में से $9$ घटाएं.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

चरण 6.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

चरण 7

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

चरण 8

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$ और $y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$ एसिम्प्टोट हैं.

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

चरण 9