प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 116, \pm 58, \pm 2, \pm 29, \pm 4, \pm 14.5$

चरण 1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.2

$0.5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.3

$2$ को $0.0625$ से गुणा करें.

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.4

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.125 - 13 \cdot 0.125 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.5

$- 13$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.125 - 1.625 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.6

$0.125$ में से $1.625$ घटाएं.

$- 1.5 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.7

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1.5 - 16 \cdot 0.25 + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.8

$- 16$ को $0.25$ से गुणा करें.

$- 1.5 - 4 + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.9

$- 1.5$ में से $4$ घटाएं.

$- 5.5 + 243 \cdot 0.5 - 116$

चरण 1.3.10

$243$ को $0.5$ से गुणा करें.

$- 5.5 + 121.5 - 116$

चरण 1.3.11

$- 5.5$ और $121.5$ जोड़ें.

$116 - 116$

चरण 1.3.12

$116$ में से $116$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116}{2 x - 1}$

चरण 1.5

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

चरण 1.5.2

भाज्य $2 x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			+	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{4} - x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

चरण 1.5.7

भाज्य $- 12 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					-	$12 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

चरण 1.5.10

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 22 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 22 x^{2} + 11 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

चरण 1.5.15

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

चरण 1.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

चरण 1.5.17

भाज्य $232 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

चरण 1.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									+	$232 x$	-	$116$

चरण 1.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $232 x - 116$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$

चरण 1.5.20

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$
												$0$

चरण 1.5.21

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ लिखें.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

चरण 2.1.3

$- 4$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 4$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$- 4$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

चरण 2.1.3.2

$- 4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

चरण 2.1.3.3

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

चरण 2.1.3.4

$- 6$ को $16$ से गुणा करें.

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

चरण 2.1.3.5

$- 64$ में से $96$ घटाएं.

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

चरण 2.1.3.6

$- 11$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 160 + 44 + 116$

चरण 2.1.3.7

$- 160$ और $44$ जोड़ें.

$- 116 + 116$

चरण 2.1.3.8

$- 116$ और $116$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $- 4$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

चरण 2.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ को $x + 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 4 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $- 10 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 10 x^{2} - 40 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

चरण 2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $29 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $29 x + 116$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

चरण 2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 10 x + 29$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ लिखें.

$(2 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)$