प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

चरण 1.2.2.1.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.3

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + 3 \cdot 4 - 10 \cdot - 2 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.4

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 + 12 - 10 \cdot - 2 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.5

$- 8$ और $12$ जोड़ें.

$4 - 10 \cdot - 2 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.6

$- 10$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 + 20 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.7

$4$ और $20$ जोड़ें.

$24 - 24$

चरण 1.2.2.1.3.8

$24$ में से $24$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.2.1.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24}{x + 2}$

चरण 1.2.2.1.5

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x$

$24$

चरण 1.2.2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$

चरण 1.2.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

चरण 1.2.2.1.5.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

चरण 1.2.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

चरण 1.2.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

चरण 1.2.2.1.5.10

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$

चरण 1.2.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

चरण 1.2.2.1.5.12

भाज्य $- 12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

चरण 1.2.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

चरण 1.2.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x - 24$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

चरण 1.2.2.1.5.15

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$
										$0$

चरण 1.2.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + x - 12$

चरण 1.2.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ लिखें.

$(x + 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

चरण 1.2.2.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 12$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 3, 4$

चरण 1.2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

चरण 1.2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 1.2.4

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 1.2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 1.2.6

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 3, - 4$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 2, 0), (3, 0), (- 4, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.4

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.4.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.4.1.3

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 - 10 \cdot 0 - 24$

चरण 2.2.4.1.4

$- 10$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 - 24$

चरण 2.2.4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 - 24$

चरण 2.2.4.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 - 24$

चरण 2.2.4.2.3

$0$ में से $24$ घटाएं.

$y = - 24$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 24)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 2, 0), (3, 0), (- 4, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 24)$

चरण 4