प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 4.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 2 - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 4.1.4

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 + 2 + 5 - 6$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$1 + 5 - 6$

चरण 4.2.2

$1$ और $5$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 4.2.3

$6$ में से $6$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x + 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$
	$1$	$1$

चरण 6.5

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$

चरण 6.6

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 6$

चरण 6.7

परिणाम $(- 6)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(6)$ के परिणाम को भाज्य $(- 6)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$	$6$
	$1$	$1$	$- 6$

चरण 6.8

$- 1$	$1$	$2$	$- 5$	$- 6$
		$- 1$	$- 1$	$6$
	$1$	$1$	$- 6$	$0$

चरण 6.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{2} + 1 x - 6$

चरण 6.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{2} + x - 6$

चरण 7

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 2, 3$

चरण 7.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 1) + (x - 2) (x + 3)$

$(x + 1) (x - 2) (x + 3)$

चरण 8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 8.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 8.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 8.1.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 8.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 2 - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 8.1.3.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

चरण 8.1.3.6

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 5 - 6$

चरण 8.1.3.7

$1$ और $5$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 8.1.3.8

$6$ में से $6$ घटाएं.

$0$

चरण 8.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x + 1}$

चरण 8.1.5

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$6$

चरण 8.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

चरण 8.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 8.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 8.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

चरण 8.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

चरण 8.1.5.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

चरण 8.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 8.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 8.1.5.10

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

चरण 8.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

चरण 8.1.5.12

भाज्य $- 6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

चरण 8.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

चरण 8.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x - 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 8.1.5.15

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

चरण 8.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + x - 6$

चरण 8.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ लिखें.

$(x + 1) (x^{2} + x - 6) = 0$

चरण 8.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$- 2, 3$

चरण 8.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

चरण 8.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

चरण 9

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 10

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 11

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 11.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 12

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 12.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 13

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 2, - 3$

चरण 14